Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 790 - schemat Bernoulliego


W pudełku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za każdym razem zwracamy je do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy różne cukierki?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

p=\frac{C_5^1\cdot C_4^1}{C_9^2}=\frac{5}{9}
q=1-p=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}
P(S_5=3)={5\choose 3}\cdot (\frac{5}{9})^3\cdot (\frac{4}{9})^2=\frac{5!}{3!2!}\cdot \frac{5^3}{9^3}\cdot \frac{4^2}{9^2}=\frac{20000}{59049}\approx 0,34

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Każda próba polega na wylosowaniu dwóch cukierków, przy czym jeżeli wylosujemy dwa różne cukierki mamy sukces, jeżeli dwa takie same cukierki, mamy porażkę. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym losowaniu jest takie samo, gdyż cukierki po losowaniu zwracamy do pudełka. Kolejny wynik nie wpływa na wynik poprzedni i następny, więc mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego o pięciu próbach.

Jeżeli n oznacza liczbę prób, p - prawdopodobieństwo sukcesu, q- prawdopodobieństwo porażki, to mamy:

n=5\\ k=3\\ p=?\\ q=1-p=?

Skorzystamy ze wzoru:

P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\\ p+q=1

jednak najpierw musimy obliczyć prawdopodobieństwo sukcesu.

Skorzystamy z drzewka prawdopodobieństwa. Mamy 9 cukierków, 5 krówek i 4 irysy. Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem krówki (k) jest równe 5/9, irysa (i): 4/9. W drugim losowaniu mamy już 8 cukierków, a prawdopodobieństwo wylosowania krówki lub irysa zależy od tego, co wylosowaliśmy za pierwszym razem. Ilustruje to drzewko:

drzewko prawdopodobieństwa - ilustracja do zadania 790

Interesują nas dwie gałęzie, w których wylosowaliśmy dwa różne cukierki (patrz rysunek) i obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu dwóch różnych cukierków:

drzewo stochastyczne - rozwiązanie graficzne zadania 790

P(A)=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}+\frac{4}{9}\cdot \frac{5}{8}=\frac{20}{72}+\frac{20}{72}=\frac{40}{72}=\frac{5}{9}

Uwaga! Prawdopodobieństwo tego zdarzenia można było również obliczyć z wykorzystaniem kombinatoryki. Jest ono równe:

P(A)=\frac{C_5^1\cdot C_4^1}{C_9^2}

Oczywiście wynik otrzymamy ten sam.

Mamy więc prawdopodobieństwo sukcesu i porażki:

p=\frac{5}{9}\\ q=1-p=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}

Korzystamy ze schematu Bernoulliego, wykorzystując przytoczony wyżej wzór:

P(S_5=3)={5\choose 3}\cdot (\frac{5}{9})^3\cdot (\frac{4}{9})^2=\frac{5!}{3!2!}\cdot \frac{5^3}{9^3}\cdot \frac{4^2}{9^2}=\\ =\frac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 2}\cdot \frac{5^2\cdot 4^2}{9^5}=\frac{20000}{59049}\approx 0,34

ksiązki Odpowiedź

P(S_5=3)\approx 0,34

© Media Nauka, 2011-10-02


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy