zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 9, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okrąg wpisany w trójkąt \(BCD\) jest styczny do przekątnej \(BD\) w punkcie \(N\). Okrąg wpisany w trójkąt \(ABD\) jest styczny do boku \(AD\) w punkcie \(M\), a środek \(S\) tego okręgu leży na odcinku \(MN\), jak na rysunku.

Ilustracja do zadania 9 z oznaczeniami

Wykaż, że \(|MN|=|AD|\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku:

Ilustracja do zadania 9 z oznaczeniami

Zauważamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa, że:

\(|DM|=\sqrt{|DS|^2-|SM|^2}=\sqrt{|DS|^2-r^2}=\)

\(=\sqrt{|DS|^2-|DE|^2}=|DE|\)

Zauważamy także:

\(|SM|=|SE|=|SF|=|MA|=|NG| i |DE|=|BN|\)

Odcinek \(MN\) jest równoległy do odcinak \(AB\), zatem kąty \(GBN\) i \(ENS\) są równe (na rysunku oznaczono je przez \(\alpha\)). Trójkąty \(BGN\) i \(NES\) są prostokątne, więc kąty \(BNG\) i \(NSE\) również są równe. W związku z równością \(|SE|=|NG|\) trójkąty \(BGN\) i \(NES\) są przystające. Zatem \(|BN|=|NS|\). Mamy więc:

\(|MN|=|MS|+|SN|=|MA|+|BN|=|MA|+|DE|=|MA|+|DM|=|AD|\)

Powyższe kończy dowód.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3279

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.