Strona główna » Matematyka » Rzut prostokątny

Zadanie - rzut prostokątny

Znaleźć obraz punktu P=(2,3) w rzucie prostokątnym na prostą y=-x+2.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Rzut prostakątny - ilustracja do zadania

Obraz punktu P oznaczamy przez P'=(x,y). Mamy znaleźć współrzędne tego punktu. Punkt P oraz punkt P' leżą na prostej prostopadłej do rzutni, oznaczamy jej równanie przez y=ax+b. Dwie proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe, które spełniają między sobą zależność:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Wystarczy znaleźć współczynnik b. Znamy współrzędne punktu P. Podstawiamy je do równania prostej i otrzymujemy:

$y=ax+b\\a=-\frac{1}{-1}=1\\ y=x+b\\ P=(2,3)\\ 3=1\cdot 2+b\\ b=3-2=1\\ y=x+1$

Mamy równanie prostej wyznaczonej przez punkty P, P'. Wiemy, że punkt P' to punkt przecięcia prostych y=-x+2 i y=x+1, wystarczy więc rozwiązać układ równań:

$\underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=x+1\\ y=-x+2 \end{cases}}\\ 2y=3/:2\\ y=\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}=x+1\\ x=\frac{1}{2}\\ P'=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$