Nauka » Matematyka » Rzut prostokątny

Zadanie - rzut prostokątny

Znaleźć obraz okręgu (x-2)²+(y-1)²=4 w rzucie prostokątnym na prostą y=x.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Ilustracja do zadania 700 - rzut prostokątny

Obrazem okręgu w rzucie prostokątnym jest odcinek $\overline{P_1P_2}$ . Znajdziemy współrzędne tych punktów. Przyjmujemy następujący tok rozumowania: Znajdziemy środek okręgu i jego obraz w rzucie prostokątnym. Punkty P₁, P₂ są równoodległe od obrazu środka okręgu. Odległość ta jest równa promieniowi okręgu.

Równanie okręgu ma postać:

Mamy więc do czynienia z okręgiem:

$(x-2)^2+(y-1)^2=2^2\\ O=(2,1), \ r=2$

Niech obraz punktu O ma współrzędne O'=(x,y). Punkty O i O' leżą na prostej prostopadłej do rzutni y=x. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają zależność:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Mamy więc:

$y=ax+b\\ a=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b\\ O=(2,1)\\ 1=-2+b\\ b=3\\ y=-x+3$

Punkt O' leży na przecięciu się rzutni i kierunku rzutu. Wystarczy więc rozwiązać układ równań, aby znaleźć współrzędne obrazu środka okręgu.

$\underline{+\ \ \ \begin{cases} y=x\\ y=-x+3 \end{cases}}\\ 2y=3/:2\\ y=\frac{3}{2}\\ x=\frac{3}{2}\\ O'=(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

Skorzystamy teraz ze wzoru na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych:

$|AB|=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_B)^2}$

Szukamy więc punktu P=(x,y), odległego od punktu O' o r=2:

$\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2}=2\\ y=x\\ \sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(x-\frac{3}{2})^2}=2\\ \sqrt{2(x-\frac{3}{2})^2}=2/^2\\ 2(x-\frac{3}{2})^2=4/:2\\ (x-\frac{3}{2})^2=2\\ x^2-3x+\frac{9}{4}-2=0\\ x^2-3x+\frac{1}{4}=0/\cdot 4\\ 4x^2-12x+1=0 \\ \Delta=144-16=128\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\\ x_1=\frac{-(-12)+8\sqrt{2}}{8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\approx 2,91\\ x_2=\frac{-(-12)-8\sqrt{2}}{8}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\approx 0,09$

Pamiętamy, że punkt ten ma leżeć na tej samej prostej y=x, co punkt O':

$P_1=(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}, \frac{3+2\sqrt{2}}{2})\\ P_2=(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}, \frac{3-2\sqrt{2}}{2})$

Zadania podobne

Zadanie - rzut prostokątny
Znaleźć obraz punktu P=(2,3) w rzucie prostokątnym na prostą y=-x+2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rzut prostokątny
Znaleźć obraz kwadratu w rzucie prostokątnym na prostą przechodzącą przez środki dwóch sąsiadujących boków.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.