Zadanie - rzut prostokątny

Treść zadania:

Znaleźć obraz okręgu \((x-2)^2+(y-1)^2=4\) w rzucie prostokątnym na prostą \(y=x\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Ilustracja do zadania 700 - rzut prostokątny

Obrazem okręgu w rzucie prostokątnym jest odcinek \(\overline{P_1P_2}\). Znajdziemy współrzędne tych punktów. Przyjmujemy następujący tok rozumowania: Znajdziemy środek okręgu i jego obraz w rzucie prostokątnym. Punkty \(P_1\),\( P_2\)są równoodległe od obrazu środka okręgu. Odległość ta jest równa promieniowi okręgu.

Równanie okręgu ma postać:

\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)

Mamy więc do czynienia z okręgiem:

\((x-2)^2+(y-1)^2=2^2\)

\(O=(2,1), \ r=2\)

Niech obraz punktu \(O\) ma współrzędne \(O'=(x,y)\). Punkty \(O\) i \(O'\) leżą na prostej prostopadłej do rzutni \(y=x\). Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają zależność:

\(a_1=-\frac{1}{a_2}\)

Mamy więc:

\(y=ax+b\)

\(a=-\frac{1}{1}=-1\)

\(y=-x+b\)

\(O=(2,1)\)

\(1=-2+b\)

\(b=3\)

\(y=-x+3\)

Punkt \(O'\) leży na przecięciu się rzutni i kierunku rzutu. Wystarczy więc rozwiązać układ równań, aby znaleźć współrzędne obrazu środka okręgu.

\underline{+\ \ \ \begin{cases} y=x\\ y=-x+3 \end{cases}}\\ 2y=3/:2\\ y=\frac{3}{2}\\ x=\frac{3}{2}\\ O'=(\frac{3}{2},\frac{3}{2})

Skorzystamy teraz ze wzoru na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych:

\(|AB|=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_B)^2}\)

Szukamy więc punktu \(P=(x,y)\), odległego od punktu \(O'\) o \(r=2\):

\(\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2}=2\)

\(y=x\)

\(\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(x-\frac{3}{2})^2}=2\)

\(\sqrt{2(x-\frac{3}{2})^2}=2/^2\)

\(2(x-\frac{3}{2})^2=4/:2\)

\((x-\frac{3}{2})^2=2\\ x^2-3x+\frac{9}{4}-2=0\)

\(x^2-3x+\frac{1}{4}=0/\cdot 4\)

\(4x^2-12x+1=0 \)

\(\Delta=144-16=128\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)

\(x_1=\frac{-(-12)+8\sqrt{2}}{8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\approx 2,91\)

\(x_2=\frac{-(-12)-8\sqrt{2}}{8}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\approx 0,09\)

Pamiętamy, że punkt ten ma leżeć na tej samej prostej \(y=x\), co punkt \(O'\):

\(P_1=(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}, \frac{3+2\sqrt{2}}{2})\\ P_2=(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}, \frac{3-2\sqrt{2}}{2})\)


© medianauka.pl, 2011-03-15, ZAD-1232

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz punktu \(P=(2,3)\) w rzucie prostokątnym na prostą \(y=-x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz kwadratu w rzucie prostokątnym na prostą przechodzącą przez środki dwóch sąsiadujących boków.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.