Strona główna » Matematyka » Rzut prostokątny

Zadanie - rzut prostokątny

Znaleźć obraz okręgu (x-2)²+(y-1)²=4 w rzucie prostokątnym na prostą y=x.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Ilustracja do zadania 700 - rzut prostokątny

Obrazem okręgu w rzucie prostokątnym jest odcinek $\overline{P_1P_2}$ . Znajdziemy współrzędne tych punktów. Przyjmujemy następujący tok rozumowania: Znajdziemy środek okręgu i jego obraz w rzucie prostokątnym. Punkty P₁, P₂ są równoodległe od obrazu środka okręgu. Odległość ta jest równa promieniowi okręgu.

Równanie okręgu ma postać:

Mamy więc do czynienia z okręgiem:

$(x-2)^2+(y-1)^2=2^2\\ O=(2,1), \ r=2$

Niech obraz punktu O ma współrzędne O'=(x,y). Punkty O i O' leżą na prostej prostopadłej do rzutni y=x. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają zależność:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Mamy więc:

$y=ax+b\\ a=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b\\ O=(2,1)\\ 1=-2+b\\ b=3\\ y=-x+3$

Punkt O' leży na przecięciu się rzutni i kierunku rzutu. Wystarczy więc rozwiązać układ równań, aby znaleźć współrzędne obrazu środka okręgu.

$\underline{+\ \ \ \begin{cases} y=x\\ y=-x+3 \end{cases}}\\ 2y=3/:2\\ y=\frac{3}{2}\\ x=\frac{3}{2}\\ O'=(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

Skorzystamy teraz ze wzoru na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych:

$|AB|=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_B)^2}$

Szukamy więc punktu P=(x,y), odległego od punktu O' o r=2:

$\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2}=2\\ y=x\\ \sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(x-\frac{3}{2})^2}=2\\ \sqrt{2(x-\frac{3}{2})^2}=2/^2\\ 2(x-\frac{3}{2})^2=4/:2\\ (x-\frac{3}{2})^2=2\\ x^2-3x+\frac{9}{4}-2=0\\ x^2-3x+\frac{1}{4}=0/\cdot 4\\ 4x^2-12x+1=0 \\ \Delta=144-16=128\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\\ x_1=\frac{-(-12)+8\sqrt{2}}{8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\approx 2,91\\ x_2=\frac{-(-12)-8\sqrt{2}}{8}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\approx 0,09$