Nauka » Matematyka » Funkcja wykładnicza

Zadanie - ciąg geometryczny

Wykazać, że ciąg $a_n=(\sqrt{2})^n$ jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_n=(\sqrt{2})^n \\ a_{n+1}=(\sqrt{2})^{n+1}=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^n$
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2}\cancel{(\sqrt{2})^n}}{\cancel{(\sqrt{2})^n}}=\sqrt{2}=const$
Ponieważ iloraz ciągu geometrycznego jest stały, dany ciąg jest ciągiem geometrycznym

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z definicją ciągu geometrycznego iloraz ciągu jest stały i równy:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Obliczamy (n+1)-ty wyraz ciągu:

$a_n=(\sqrt{2})^n \\ a_{n+1}=(\sqrt{2})^{n+1}=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^n$

Skorzystaliśmy tutaj z własności działań na potęgach:

$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$

Sprawdzamy wartość ilorazu ciągu geometrycznego

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2}\cancel{(\sqrt{2})^n}}{\cancel{(\sqrt{2})^n}}=\sqrt{2}=const$

Ponieważ iloraz ciągu geometrycznego nie zależy od n, jest wartością stałą (constans), wykazaliśmy, że dany ciąg jest ciągiem geometrycznym

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x) = a^x. Punkt A = (1, 2) należy do tego wykresu funkcji.

Podstawa potęgi a jest równa:
A.

C. -2
D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2018

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=a^x (gdzie a>0 i a≠1), należy punkt P=(2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x)=f(x)−2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.