Funkcja wykładnicza

Definicja

Funkcja wykładnicza jest to funkcja postaci:

$y=a^x,\quad{a}>0,\quad{a}\in{R}$

W niektórych kursach matematyki w definicji funkcji wykładniczej pomija się przypadek, w którym a=1. Wówczas mamy do czynienia z funkcją stałą y=1.

Funkcja wykładnicza y=a^x jest funkcją odwrotną do funkcji logarytmicznej y=log_ax.

Funkcja eksponencjalna

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, która w podstawie potęgi ma podstawę logarytmu naturalnego - liczbę e.

f(x)=e^x

Przykłady

A oto przykłady funkcji wykładniczych:
$y=2^x\\f(x)=(\frac{3}{7})^x\\y=1^x=1$

Własności funkcji wykładniczej

Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Przeciwdziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R₊.
Funkcja wykładnicza jest rosnąca dla a>1, malejąca, gdy 0<a<1 oraz stała, gdy a=1.

Funkcja wykładnicza, to jedyna funkcja ciągła, której dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych i ma tę własność, że dla dowolnych argumentów x₁ i x₂ spełniona jest zależność:

f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)

W dalszej części lekcji omawiamy wykres funkcji wykładniczej.

Pytania

Czy funkcja wykładnicza jest funkcją potęgową?

Nie. Funkcja wykładnicza charakteryzuje się tym, że niewiadoma znajduje się w wykładniku potęgi, a w funkcji potęgowej niewiadoma znajduje się w podstawie potęgi. To dwie różne funkcje o różnych własnościach.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Funkcja wykładnicza

Zadanie - ciąg geometryczny
Wykazać, że ciąg $a_n=(\sqrt{2})^n$ jest ciągiem geometrycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x) = a^x. Punkt A = (1, 2) należy do tego wykresu funkcji.

Podstawa potęgi a jest równa:
A.
B.
C. -2
D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2018

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=a^x (gdzie a>0 i a≠1), należy punkt P=(2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x)=f(x)−2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Wykres funkcji wykładniczej

Wykres funkcji wykładniczej nosi nazwę krzywej wykładniczej. Przykłady wykresów funkcji wykładniczej.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.