Wykres funkcji wykładniczej

Wykres funkcji wykładniczej nosi nazwę krzywej wykładniczej. Krzywa wykładnicza ma różny kształt, w zależności od wartości argumentu funkcji.

Przykłady

Narysuj wykres funkcji wykładniczej \(y=2^x\), \(y=(\frac{1}{2})^x\) oraz \(y=1^x\).

Sporządzamy najpierw tabelkę zmienności wszystkich funkcji:

\(x\)	-2	-1	0	1	2
\(y=2^x\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	1	2	4
\(y=(\frac{1}{2})^x\)	4	2	1	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)
\(y=1^x\)	1	1	1	1	1

Szkicujemy wykresy:

wykres funkcji wykładniczej

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji wykładniczej jest to, że zawsze przechodzi przez punkt \((0,1)\).

Wykres Wykres funkcji wykładniczej online

Poniższa symulacja ilustruje zachowanie się wykresu w zależności od wartości podstawy potęgi. Ustawienia można zmieniać za pomocą suwaka.

Funkcja w postaci y = a^x, czyli y = 2^x

a 2

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej

Wzór funkcji \(f(x)\) przesuniętej o wektor \(\vec{v}=[p,q]\) ma postać \(y=f(x-p)+q\), czyli w przypadku funkcji wykładniczej:

\(y=a^{x-p}+q\).

Przykłady

Aby narysować wykres funkcji \(y=3^{x-5}\), wystarczy przesunąć wykres funkcji \(y=3^x\) o 5 jednostek w prawo (wzdłuż osi Ox).
Aby narysować wykres funkcji \(y=3^{x+1}\), wystarczy przesunąć wykres funkcji \(y=3^x\) o 1 jednostkę w lewo (w stronę przeciwną do osi Ox).
Aby narysować wykres funkcji \(y=3^{x}+5\), wystarczy przesunąć wykres funkcji \(y=3^x\) o 5 jednostek w górę (wzdłuż osi Oy).
Aby narysować wykres funkcji \(y=3^{x+5}+5\), wystarczy przesunąć wykres funkcji \(y=3^x\) o wektor \(\vec{v}=[-5,5]\).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji \(y=(\frac{1}{2})^{x-5}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sporządzić wykres funkcji \(y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=a^x\). Punkt \(A=(1,2)\) należy do tego wykresu funkcji.

Rysunek do zadania