Nauka » Matematyka » Zapis iloczynu za pomocą symbolu PI

Zadanie - symbol pi

Oblicz: $\frac{1}{2^{10}}\cdot \prod_{i=1}^{3}\prod_{j=1}^{5}(i+j)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{1}{2^{10}}\cdot \prod_{i=1}^{3}\prod_{j=1}^{5}(i+j)=\frac{1}{2^{10}}\cdot \prod_{i=1}^{3}[(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)(i+5)]=\\ =\frac{1}{2^{10}}\cdot (1+1)(1+2)(1+3)(1+4)(1+5)\cdot \\ \cdot (2+1)(2+2)(2+3)(2+4)(2+5)\cdot \\ \cdot (3+1)(3+2)(3+3)(3+4)(3+5)=\\ =\frac{1}{2^1\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^3}\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8=11907000$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby policzyć to wyrażenie musimy zastosować rekurencję (pętlę), najpierw w drugim symbolu "pi", podstawiając za zmienną j kolejno liczby całkowite zaczynając od 1, a kończąc na 5 oraz liczby od 1 do 3 dla symbolu zewnętrznego (najpierw liczbę 1 pod cały iloczyn, potem liczbę 2 pod cały iloczyn i na końcu tak samo liczbę 3). Kolejne wyrażenia mnożymy przez siebie:

$\frac{1}{2^{10}}\cdot \prod_{i=1}^{3}\prod_{j=1}^{5}(i+j)=\frac{1}{2^{10}}\cdot \prod_{i=1}^{3}[(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)(i+5)]=\\ =\frac{1}{2^{10}}\cdot (1+1)(1+2)(1+3)(1+4)(1+5)\cdot \\ \cdot (2+1)(2+2)(2+3)(2+4)(2+5)\cdot \\ \cdot (3+1)(3+2)(3+3)(3+4)(3+5)=\\ =\frac{1}{\cancel{2^1}\cdot \cancel{2^2}\cdot \cancel{2^2}\cdot \cancel{2^2}\cdot \cancel{2^3}}\cdot \cancel{2}\cdot 3\cdot \cancel{4}\cdot 5\cdot 6\cdot 3\cdot \cancel{4}\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \cancel{4}\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \cancel{8}=11907000$ tło

Skorzystaliśmy tutaj również z własności działań na potęgach, zapisując $2^{10}=2^{(1+2+2+2+3)}=2^1\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^3$

Odpowiedź

$\frac{1}{2^{10}}\cdot \prod_{i=1}^{3}\prod_{j=1}^{5}(i+j)=11907000$

Zadania podobne

Zadanie - symbol pi, stosowanie symboli pi
Oblicz:
a) $\prod_{i=-2}^{2} (\frac{i}{i+4})$
b) $\prod_{i=1}^{5} (i+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - symbol pi, stosowanie symbolu pi
Oblicz: $\frac{\prod_{i=3}^{6}2i}{\prod_{i=1}^{4}2^i}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia sumy i iloczynu
Oblicz: $\sum_{j=1}^{3}\prod_{i=1}^{5}ij$

Pokaż rozwiązanie zadania