Zadanie - symbol pi

Rozwiązanie zadania

Aby policzyć to wyrażenie musimy zastosować rekurencję (pętlę), najpierw w drugim symbolu "pi", podstawiając za zmienną j kolejno liczby całkowite zaczynając od 1, a kończąc na 5 oraz liczby od 1 do 3 dla symbolu zewnętrznego (najpierw liczbę 1 pod cały iloczyn, potem liczbę 2 pod cały iloczyn i na końcu tak samo liczbę 3). Kolejne wyrażenia mnożymy przez siebie:

\(\frac{1}{2^{10}}\cdot \displaystyle\prod_{i=1}^{3}\prod_{j=1}^{5}(i+j)=\frac{1}{2^{10}}\cdot \prod_{i=1}^{3}[(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)(i+5)]=\)

\(=\frac{1}{2^{10}}\cdot (1+1)(1+2)(1+3)(1+4)(1+5)\cdot \\ \cdot (2+1)(2+2)(2+3)(2+4)(2+5)\cdot\)

\(\cdot (3+1)(3+2)(3+3)(3+4)(3+5)=\\ =\frac{1}{\cancel{2^1}\cdot \cancel{2^2}\cdot \cancel{2^2}\cdot \cancel{2^2}\cdot \cancel{2^3}}\cdot \cancel{2}\cdot 3\cdot \cancel{4}\cdot 5\cdot 6\cdot 3\cdot \cancel{4}\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \cancel{4}\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \cancel{8}=11907000\)

Skorzystaliśmy tutaj również z własności działań na potęgach, zapisując \(2^{10}=2^{(1+2+2+2+3)}=2^1\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^3\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-04-16, ZAD-782

Zadania podobne

Oblicz:
a) \(\displaystyle\prod_{i=-2}^{2} (\frac{i}{i+4})\)
b) \(\displaystyle\prod_{i=1}^{5} (i+1)\)

Oblicz: \(\frac{\displaystyle\prod_{i=3}^{6}2i}{\displaystyle\prod_{i=1}^{4}2^i}\)

Oblicz:

\(\displaystyle\sum_{j=1}^{3}\prod_{i=1}^{5}ij\)