Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 816 - równanie pierwiastkowe


Rozwiązać równanie \sqrt{x+1}=x+1.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\sqrt{x+1}=x+1/^2\\x+1=(x+1)^2
?x+1=x^2+2x+1\\x+1-x^2-2x-1=0\\x^2+x=0\\x(x+1)=0\\x=0\vee{x=-1}
\sqrt{x+1}=x+1\\{\sqrt{0+1}=0+1\Leftrightarrow{1=1}}\\{\sqrt{-1+1}=-1+1\Leftrightarrow{0=0}}

Otrzymaliśmy zdania prawdziwe, więc oba rozwiązania spełniają dane równanie.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązujemy równanie metodą analizy starożytnych, pamiętając, że na końcu musimy sprawdzić, czy uzyskane rozwiązanie spełnia równanie wyjściowe. Podnosimy więc obie strony równania do kwadratu:

\sqrt{x+1}=x+1/^2\\x+1=(x+1)^2

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Mamy więc:

x+1=(x+1)^2\\x+1=x^2+2x+1\\x+1-x^2-2x-1=0\\-x^2-x=0/:(-1)\\x^2+x=0\\x(x+1)=0\\x=0\vee{x-1=0}\\x=0\vee{x=-1}

Otrzymaliśmy dwa pierwiastki równania. Sprawdzamy, czy spełniają równanie pierwiastkowe.

\sqrt{x+1}=x+1\\{\sqrt{0+1}=0+1\Leftrightarrow{1=1}}\\{\sqrt{-1+1}=-1+1\Leftrightarrow{0=0}}

Otrzymaliśmy zdania prawdziwe, więc oba rozwiązania spełniają dane równanie.

ksiązki Odpowiedź

x=0\vee{x=-1}

© Media Nauka, 2012-03-10


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy