Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że
A. \(p=-8\)
B. \(p=4\)
C. \(p=2\)
D. \(p=-2\)
Rozwiązanie zadania
Przy obliczaniu granic w nieskończoności z funkcji wymiernej stosujemy następującą metodę rachunkową: wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje w mianowniku (u nas \(n^6\)).
W liczniku mamy sześcian sumy. Interesuje nas jednak tylko pierwszy czynnik, z najwyższą potęgą (kolejne potęgi \(n\) są niższe), resztę oznaczymy jako wyrażenie \(A\).
\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3n^6+A}{5n^6-4}}=\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{n^6(p^3+\frac{A}{n^6})}{n^6(5-\frac{4}{n^6})}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3+\frac{A}{n^6}}{5-\frac{4}{n^6}}}=\frac{p^3+0}{5-0}=\frac{p^3}{5}\)
Mamy więc:
\(\frac{p^3}{5}=-\frac{8}{5}\)
\(p^3=-8\)
\(p=-2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3275
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć:
a) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}\)
b) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}\)
Zadanie nr 2.
Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).