zadanie

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przy obliczaniu granic w nieskończoności z funkcji wymiernej stosujemy następującą metodę rachunkową: wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje w mianowniku (u nas n6).

W liczniku mamy sześcian sumy. Interesuje nas jednak tylko pierwszy czynnik, z najwyższą potęgą (kolejne potęgi n są niższe), resztę oznaczymy jako wyrażenie A.

\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3n^6+A}{5n^6-4}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{n^6(p^3+\frac{A}{n^6})}{n^6(5-\frac{4}{n^6})}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3+\frac{A}{n^6}}{5-\frac{4}{n^6}}}=\frac{p^3+0}{5-0}=\frac{p^3}{5}

Mamy więc:

\frac{p^3}{5}=-\frac{8}{5}\\p^3=-8\\p=-2

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź D

© CKE, 2016-11-01