Zadanie maturalne nr 29, matura 2015 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2-6x+3\) w przedziale \([0,4]\).
Rozwiązanie zadania
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a w naszym przypadku parabola z ramionami skierowanymi ku górze, gdyż przy\(x^2\) znajduje się liczba dodatnia. Oznacza to, że w wierzchołku znajduje się minimum funkcji w całym jej przedziale. Jeżeli tylko wierzchołek znajduje się w przedziale \([0,4]\), to będzie to też minimum funkcji w tym właśnie przedziale. Obliczamy więc współrzędne wierzchołka paraboli (zobacz wzory w artykule Wykres funkcji kwadratowej):
\(y=x^2-6x+3\)
\(\Delta=b^2-4ac=36-12=24\)
\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3\)
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{24}{4}=-6\)
\(x_2\in [0,4]\)
\(f_{min}(3)=-6\)
Wierzchołek znajduje się w naszym przedziale, jest to więc nasze minimum funkcji. Sprawdźmy jeszcze wartości funkcji na krańcach przedziału.
\(f(0)=0-0+3=3\)
\(f(4)=16-24+3=-5\)
W punkcie \(x=0\) funkcja przyjmuje największą wartość równą \(3\).
Odpowiedź
\(f_{min}(3)=-6\)
\(f_{max}(0)=3\)
© medianauka.pl, 2016-12-14, ZAD-3327
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,-2]\)
B. \([-2,4]\)
C. \([4,\infty)\)
D. \((-\infty,9]\)
Zadanie nr 2 — maturalne.
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to:
A. \(f(1)=-6\)
B. \(f(1)=0\)
C. \(f(1)=6\)
D. \(f(1)=18\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Liczby \((-1)\) i \(3\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\). Oblicz \(\frac{f(6)}{f(12)}\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx +c\), której miejsca zerowe to: −3 i 1.
Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Zadanie nr 5.
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.