Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 522 - obliczanie całek


Oblicz:
\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\\ 3x^4-5=u\\ 12x^3dx=du\\ A=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du}=\frac{1}{12}\int{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{12}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C=\frac{1}{18}\sqrt{(3x^4-5)^3}+C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest całka, którą oznaczmy literą A:

A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}

Zastosujemy metodę podstawienia, korzystając ze wzoru:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}

Spójrzmy na lewą stronę powyższego wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia (3x4-5) jest "prawie" równa pierwszemu czynnikowi, czyli x3.

(3x^4-5)'=3\cdot 4x^3-0=12x^3

My w naszej całce mamy do czynienia z wartością x3 (bez dwunastki). Dokonujemy więc przekształcenia:

A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-5}dx}

Stosujemy więc podstawienie:

3x^4-5=u tło

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

12x^3dx=du tło

Otrzymujemy więc:

A=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{12}\int{\sqrt{3x^4-5}\cdot 12x^3dx}=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du} tło tło tło tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając z podstawowego wzoru:

\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Mamy więc:

A=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du}=\int{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{12}\cdot \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{1}{12}\cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{\cancel{12}_6}\cdot\frac{\cancel{2}}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C

Wracamy do zmiennej x:

A=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C=\frac{1}{18}\sqrt{(3x^4-5)^3}+C

ksiązki Odpowiedź

\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{18}\sqrt{(3x^4-5)^3}+C

© Media Nauka, 2010-10-10


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy