logo



Usuwanie niewymierności z mianownika

Teoria Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu tego wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Przykład Przykład

\frac{2}{sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}

Zatem mnożymy licznik i mianownik przez taką liczbę niewymierną, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Jeżeli w mianowniku mamy sumę lub różnicę korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.

Przykład Przykład

\frac{2}{3+\sqrt{2}}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}=\frac{6-2\sqrt{2}}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{6-2\sqrt{2}}{9-2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}

\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=-\sqrt{2}-\sqrt{3}

Podobnie postępujemy w innych przypadkach. Poniższy przykład ilustruje, jak pozbyć się niewymierności z mianownika, gdy w mianowniku mamy do czynienia z sumą trzech liczb niewymiernych.

Przykład Przykład

Usuń niewymierność z mianownika liczby \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}.

Tutaj również można zastosować wzór skróconego mnożenia, jednak dla ułatwienia sobie rachunków można dokonać podstawienia m=\sqrt{2}+\sqrt{3}.

Mamy wówczas:

\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1}{m+\sqrt{5}}=\frac{m-\sqrt{5}}{(m+\sqrt{5})(m-\sqrt{5})}=\frac{m-\sqrt{5}}{m^{2}-5}

Podstawiając teraz z powrotem za m liczbę \sqrt{2}+\sqrt{3} możemy dalej kontynuować rachunki:

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3)-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}+5-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}=

\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot6}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

© Media Nauka, 2009-02-15, ART00076/148



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 18 - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.
Uprościć wyrażenie W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}, wiedząc, że x>-1

zadanie - ikonka Zadanie 354 - usuwanie niewymierności z mianownika
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a)
b) \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}