Arcus sinus (arcsin)

Definicja

Arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji y=sinx określonej w przedziale $<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}>$ . Funkcję tę oznaczamy następująco: y=arcsinx, a zapis ten oznacza, że x=siny i y∈ $<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}>$ .

Przykład

Obliczyć $arcsin{\frac{1}{2}}$ .

Aby wyznaczyć wskazaną wartość funkcji arcus sinus wystarczy skorzystać z definicji i obliczyć równanie: $\sin{y}=\frac{1}{2}$ . Jest to równanie trygonometryczne elementarne, które ma nieskończenie wiele rozwiązań ( $y=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee \ y=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C$ ), my jednak musimy się ograniczyć do przedziału $<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}>$ , mamy więc jedno rozwiązanie:

Odpowiedź: $arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$ .

Wykres funkcji arcsin

Aby wyznaczyć wykres funkcji y=arcsinx postępujemy zgodnie z definicją:

w układzie współrzędnych, gdzie oś y jest osią poziomą, a oś x osią pionową sporządzamy wykres funkcji x=siny ale jedynie w przedziale $<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}>$ .
po obrocie w przestrzeni wokół dwusiecznej I i III ćwiartki i otrzymujemy wykres funkcji y=arcsinx w typowym układzie współrzędnych.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Funkcja arcus tangens arctg

Definicja i wykres funkcji arcus tangens. Arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji y=tgx.

Funkcja arcus cotangens arcctg

Arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji y=ctgx określonej.

Funkcja arcus cosinus arccos

Arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji y=cosx. Funkcję tę oznaczamy następująco: y=arccosx.