Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym bryły sztywnej wokół ustalonej osi jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności tej bryły i kwadratu prędkości kątowej.

\(E_k=\frac{I{\omega}^2}{2}\)

We wzorze:

\(E_k\) — energia kinetyczna ruchu obrotowego,
\(I\) — moment bezwładności bryły względem osi obrotu,
\(\omega\) — prędkość kątowa bryły.

Jednostką energii kinetycznej ruchu obrotowego jest dżul:

\([E_k]=\text{J}\)

Zapamiętaj

Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest energią ciała wynikającą z jego obrotu.

\(E_k=\frac{I\omega^2}{2}\)

Moment bezwładności \(I\) pełni w ruchu obrotowym podobną rolę jak masa \(m\) w ruchu postępowym.

Prędkość kątowa \(\omega\) pełni podobną rolę jak prędkość liniowa \(v\).

Ponieważ \(I\) ma jednostkę \(\text{kg}\cdot\text{m}^2\), a \(\omega\) ma jednostkę \(1/\text{s}\), otrzymujemy \(\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2\), czyli dżul.

Powyższy wzór do złudzenia przypomina wzór na energię kinetyczną w ruchu postępowym \(E_k=\frac{mv^2}{2}\) z tą różnicą, że zamiast prędkości liniowej mamy tu prędkość kątową, a zamiast masy moment bezwładności bryły sztywnej.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego informuje, jaką energię ma ciało dzięki temu, że się obraca. Im większy moment bezwładności bryły lub im większa jej prędkość kątowa, tym większa energia ruchu obrotowego.

Energia ta rośnie proporcjonalnie do momentu bezwładności \(I\), ale proporcjonalnie do kwadratu prędkości kątowej \(\omega\). Oznacza to, że dwukrotne zwiększenie prędkości kątowej powoduje czterokrotny wzrost energii kinetycznej ruchu obrotowego.

Wyprowadzenie wzoru na energię kinetyczną w ruchu obrotowym

Jeżeli założymy, że bryła sztywna jest zbiorem punktów materialnych o danej masie \(m_i\) i prędkości liniowej \(v_i\) lub kątowej \(\omega_i\), a odległość i-tego punktu materialnego od osi obrotu wynosi \(r_i\), to całkowitą energię bryły sztywnej policzymy poprzez zsumowanie wszystkich energii \(E_i\) składowych punktów materialnych.

Energia kinetyczna \(E_i\) pojedynczego punktu materialnego w ruchu obrotowym wyraża się wzorem:

\(E_i=\frac{{m_i}{v_i}^2}{2}\)

Zależność między prędkością kątową, a liniową jest następująca:

\(v=\omega r\)

Mamy więc:

\(E_i=\frac{{m_i}({\omega_i\cdot{r_i}})^2}{2}=\frac{{m_i}{{r_i}}^{2}{\omega^2}}{2}\)

Dlaczego zniknął indeks "i" przy prędkości kątowej? Otóż dlatego, że prędkość kątowa wszystkich punktów bryły sztywnej w ruchu obrotowym jest taka sama!

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły jest więc równa:

\(E_k=E_1+E_2+...=\sum{E_i}=\sum{\frac{{m_i}{{r_i}}^{2}{\omega^2}}{2}}=\frac{{\omega^2}\sum{{m_i}{{r_i}}^{2}}}{2}=\frac{I{\omega^2}}{2}\)

Ćwiczenia

Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.

Nie jesteś zalogowany.

Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się

Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Koło zamachowe ma moment bezwładności \(I=3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\) i obraca się z prędkością kątową \(\omega=4\ \text{rad/s}\). Oblicz energię kinetyczną ruchu obrotowego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania.

⬅️ Poprzedni Zasada zachowania momentu pędu

Spis treści

Ćwiczenia: 0/0 0%

Następny Ruch obrotowy - wzory ➡️