Moment bezwładności

Miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym jest moment bezwładności.

Moment bezwładności bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynu mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów odległości od danej osi.

$I=\sum_{i=1}^{n}\quad m_ir_i^2=m_1r_1^2+m_2r_2^2+...+m_nr_n^2$

Zwykle jednak mamy do czynienia z bryłami o ciągłym rozkładzie masy, trudno wówczas zastosować powyższy wzór.

Poziom zaawansowany

Sumowanie w powyższym wzorze można zastąpić całkowaniem. Otrzymamy wówczas bardziej użyteczną zależność:

$I=\int{r^2dm}$

Aby z niej skorzystać musimy znać rozkład masy w zależności od r. wówczas całkujemy taką funkcję po dm, otrzymując moment bezwładności danej bryły.

Dla każdej bryły moment bezwładności może być inny. Nawet dla tej samej bryły, ale różnych osi obrotów moment bezwładności jest różny.

Poniższa tabela zawiera wzory na momenty bezwładności dla różnych brył.

Tablica bezwładności brył sztywnych

Bryła	Oś	Moment bezwładności
Kula jednorodna o promieniu R	Oś, która przechodzi przez środek kuli	$I=\frac{2}{5}mR^2$
Cienka powłoka sferyczna o promieniu R	Oś, która przechodzi przez środek sfery	$I=\frac{2}{3}mR^2$
Jednorodny, pełny walec o promieniu podstawy R	Podłużna oś symetrii	$I=\frac{1}{2}mR^2$
Wydrążony walec o promieniu wewnętrznym R_w i zewnętrznym R_z	Podłużna oś symetrii	$I=\frac{1}{2}m(R_w^2+R_z^2)$
Walec o promieniu wewnętrznym podstawy R i wysokości H	Oś prostopadła do osi podłużnej symetrii, przechodząca przez środek walca	$I=\frac{1}{12}m(H^2+3R^2)$
Pręt o długości l	Oś prostopadła do pręta, przechodząca przez jego początek	$I=\frac{1}{3}ml^2$
Pręt o długości l	Oś prostopadła do pręta, przechodząca przez jego środek	$I=\frac{1}{12}ml^2$
Pręt o długości l	Oś przechodząca przez jego środek nachylona do niego pod kątem alfa	$I=\frac{1}{3}ml^2\sin^2\alpha$
Obręcz cienkościenna o promieniu R	Oś prostopadła do płaszczyzny obręczy, przechodząca przez jej środek
Obręcz cienkościenna o promieniu R	Oś leżąca w płaszczyźnie obręczy, przechodząca przez jej środek	$I=\frac{1}{2}mR^2$
Cienka tarcza o promieniu R	Oś prostopadła do płaszczyzny tarczy, przechodząca przez jej środek	$I=\frac{1}{2}mR^2$
Stożek o promieniu podstawy R	Oś prostopadła do płaszczyzny podstawy, przechodząca przez wierzchołek stożka	$I=\frac{3}{10}mR^2$
Prostopadłościan o krawędziach a, b i c	Oś prostopadła do podstawy o bokach a i b, przechodząca przez punkt przecięcia się przekątnych podstawy	$I=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$
Sześcian o krawędzi a	Oś prostopadła do podstawy, przechodząca przez środek podstawy	$I=\frac{1}{6}ma^2$

Inne zagadnienia z tej lekcji

Dynamika ruchu po okręgu

Na ciało doznające przyspieszenia dośrodkowego działa siła o stałej wartości i zwrócona do środka okręgu. Jest to siła dośrodkowa. W nieinercjalnym układzie odniesienia pojawia się szczególny przypadek siły bezwładności - siła odśrodkowa bezwładności.

Bryła sztywna

co to jest bryła sztywna? Bryła sztywna jest to ciało fizyczne, które pod wpływem działania sił zewnętrznych nie ulega odkształceniom. Jest to jedynie pojęcie modelowe. W rzeczywistości nie ma idealnej bryły sztywnej. Dla bryły sztywnej wnioski i zależności są słuszne jak dla układu punktów materialnych.

Rodzaje ruchu bryły sztywnej

Rodzaje ruchu bryły sztywnej. Bryła sztywna z uwagi na to, iż jest rozciągła w przestrzeni, może poruszać się ruchem postępowym i obrotowym. Co to jest ruch postępowy? Co to jest ruch obrotowy brył sztywnej? Ilustracja ruchu postępowego i obrotowego.

Moment siły

Moment siły F względem punktu O osi obrotu jest to iloczyn wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F i tej siły. Początek wektora r leży w punkcie O. Moment siły jest też nazywany inaczej momentem obrotowym, a wektor wodzący ramieniem siły. Jednostką momentu siły jest niutonometr.

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera wraz z przykładem. Moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I0 względem osi równoległej, przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległości d obu osi.

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego. Jeżeli na bryłę sztywną nie działają żadne momenty sił, to bryła ta pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny (ze stałą prędkością kątową).

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego. Jeżeli wypadkowy moment sił, które działają na bryłę nie jest równy zeru, to bryła porusza się ruchem zmiennym obrotowym z przyspieszeniem kątowym, które jest wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu sił.

Trzecia zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Trzecią zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego można określić w następujący sposób: Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem siły, to bryła B działa na bryłę A momentem równym co do wartości, ale przeciwnie skierowanym.

Moment pędu

Moment pędu określamy nieco inaczej dla punktu materialnego, który porusza się ruchem po okręgu i inaczej dla bryły sztywnej, która porusza się ruchem obrotowym.

Ruch obrotowy - wzory

W niniejszym artykule zestawiono najważniejsze wzory i oznaczenia związane z ruchem obrotowym. W tabeli opisano oprócz wielkości związanych z ruchem obrotowym ich odpowiedniki w ruchu prostoliniowym.