Logo Media Nauka

Moment bezwładności

Miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym jest moment bezwładności.

Moment bezwładności bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynu mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów odległości od danej osi.

I=\sum_{i=1}^{n}\quad m_ir_i^2=m_1r_1^2+m_2r_2^2+...+m_nr_n^2

Zwykle jednak mamy do czynienia z bryłami o ciągłym rozkładzie masy, trudno wówczas zastosować powyższy wzór.

Poziom zaawansowany

Sumowanie w powyższym wzorze można zastąpić całkowaniem. Otrzymamy wówczas bardziej użyteczną zależność:

I=\int{r^2dm}

Aby z niej skorzystać musimy znać rozkład masy w zależności od r. wówczas całkujemy taką funkcję po dm, otrzymując moment bezwładności danej bryły.

Dla każdej bryły moment bezwładności może być inny. Nawet dla tej samej bryły, ale różnych osi obrotów moment bezwładności jest różny.

Poniższa tabela zawiera wzory na momenty bezwładności dla różnych brył.

Tablica bezwładności brył sztywnych

BryłaIlustracjaMoment bezwładności
Kula jednorodna o promieniu ROś, która przechodzi przez środek kulimoment bezwładności kuli I=\frac{2}{5}mR^2
Cienka powłoka sferyczna o promieniu ROś, która przechodzi przez środek sfery moment bezwładności sfery I=\frac{2}{3}mR^2
Jednorodny, pełny walec o promieniu podstawy R Podłużna oś symetriimoment bezwładności walcaI=\frac{1}{2}mR^2
Wydrążony walec o promieniu wewnętrznym Rw i zewnętrznym Rz Podłużna oś symetriimoment bezwładności wydrążonego walcaI=\frac{1}{2}m(R_w^2+R_z^2)
Walec o promieniu wewnętrznym podstawy R i wysokości HOś prostopadła do osi podłużnej symetrii, przechodząca przez środek walcamoment bezwładności walcaI=\frac{1}{12}m(H^2+3R^2)
Pręt o długości lOś prostopadła do pręta, przechodząca przez jego początekmoment bezwładności prętaI=\frac{1}{3}ml^2
Pręt o długości lOś prostopadła do pręta, przechodząca przez jego środek moment bezwładności pręta I=\frac{1}{12}ml^2
Pręt o długości lOś przechodząca przez jego środek nachylona do niego pod kątem alfamoment bezwładności prętaI=\frac{1}{3}ml^2\sin^2\alpha
Obręcz cienkościenna o promieniu ROś prostopadła do płaszczyzny obręczy, przechodząca przez jej środekmoment bezwładności obręczyI=mR^2
Obręcz cienkościenna o promieniu ROś leżąca w płaszczyźnie obręczy, przechodząca przez jej środekmoment bezwładności obręczyI=\frac{1}{2}mR^2
Cienka tarcza o promieniu ROś prostopadła do płaszczyzny tarczy, przechodząca przez jej środekmoment bezwładności tarczyI=\frac{1}{2}mR^2
Stożek o promieniu podstawy ROś prostopadła do płaszczyzny podstawy, przechodząca przez wierzchołek stożkamoment bezwładności stożkaI=\frac{3}{10}mR^2
Prostopadłościan o krawędziach a, b i cOś prostopadła do podstawy o bokach a i b, przechodząca przez punkt przecięcia się przekątnych podstawymoment bezwładności prostopadłościanuI=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)
Sześcian o krawędzi aOś prostopadła do podstawy, przechodząca przez środek podstawy moment bezwładności sześcianuI=\frac{1}{6}ma^2

© medianauka.pl, 2017-02-11, ART-3469





Inne zagadnienia z tej lekcji

Dynamika ruchu po okręguDynamika ruchu po okręgu
Na ciało doznające przyspieszenia dośrodkowego działa siła o stałej wartości i zwrócona do środka okręgu. Jest to siła dośrodkowa. W nieinercjalnym układzie odniesienia pojawia się szczególny przypadek siły bezwładności - siła odśrodkowa bezwładności.
Bryła sztywnaBryła sztywna
co to jest bryła sztywna? Bryła sztywna jest to ciało fizyczne, które pod wpływem działania sił zewnętrznych nie ulega odkształceniom. Jest to jedynie pojęcie modelowe. W rzeczywistości nie ma idealnej bryły sztywnej. Dla bryły sztywnej wnioski i zależności są słuszne jak dla układu punktów materialnych.
Rodzaje ruchu bryły sztywnejRodzaje ruchu bryły sztywnej
Rodzaje ruchu bryły sztywnej. Bryła sztywna z uwagi na to, iż jest rozciągła w przestrzeni, może poruszać się ruchem postępowym i obrotowym. Co to jest ruch postępowy? Co to jest ruch obrotowy brył sztywnej? Ilustracja ruchu postępowego i obrotowego.
Moment siłyMoment siły
Moment siły F względem punktu O osi obrotu jest to iloczyn wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F i tej siły. Początek wektora r leży w punkcie O. Moment siły jest też nazywany inaczej momentem obrotowym, a wektor wodzący ramieniem siły. Jednostką momentu siły jest niutonometr.
Twierdzenie SteineraTwierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera wraz z przykładem. Moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I0 względem osi równoległej, przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległości d obu osi.
Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowegoPierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego
Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego. Jeżeli na bryłę sztywną nie działają żadne momenty sił, to bryła ta pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny (ze stałą prędkością kątową).
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowegoDruga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego. Jeżeli wypadkowy moment sił, które działają na bryłę nie jest równy zeru, to bryła porusza się ruchem zmiennym obrotowym z przyspieszeniem kątowym, które jest wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu sił.
Trzecia zasada dynamiki dla ruchu obrotowegoTrzecia zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Trzecią zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego można określić w następujący sposób: Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem siły, to bryła B działa na bryłę A momentem równym co do wartości, ale przeciwnie skierowanym.
Moment pęduMoment pędu
Moment pędu określamy nieco inaczej dla punktu materialnego, który porusza się ruchem po okręgu i inaczej dla bryły sztywnej, która porusza się ruchem obrotowym.
Ruch obrotowy - wzoryRuch obrotowy - wzory
W niniejszym artykule zestawiono najważniejsze wzory i oznaczenia związane z ruchem obrotowym. W tabeli opisano oprócz wielkości związanych z ruchem obrotowym ich odpowiedniki w ruchu prostoliniowym.



© Media Nauka 2008-2018 r.