Logo Serwisu Media Nauka


Metoda analizy starożytnych

Teoria Metoda analizy starożytnych polega na przekształcaniu równania wyjściowego tak, aby otrzymać równanie wynikowe łatwiejsze do rozwiązania i takie, które spełnia je każde rozwiązanie równania wyjściowego. (Równania te nie muszą być równoważne!). Pierwiastek, który spełnia równanie wynikowe, nazywany jest pierwiastkiem obcym. Aby określić zbiór rozwiązań równania wyjściowego, należy ze zbioru rozwiązań równania wynikowego wyeliminować pierwiastki obce poprzez podstawienie rozwiązań do równania wyjściowego. Sprawdzenie, czy dane pierwiastki równania wynikowego spełniają równanie wyjściowe jest w tej metodzie niezbędne!

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: \sqrt{2x-1}=x.

Nie możemy zastosować tutaj metody równań równoważnych, gdyż dodanie do obu stron równania liczby lub pomnożenie ich przez daną liczbę niczego nie da. Możemy jednak podnieść obie strony równania do drugiej potęgi. (Skoro dwie liczby są równe, to ich kwadraty też są równe). Otrzymujemy wówczas: 2x-1=x^2
Dalej przekształcamy równanie (przenosimy x2 na lewą stronę równania):

-x^2+2x-1=0/\cdot (-1)\\{x^2-2x+1=0}\\{(x-1)^2=0}\\{x=1}

Sprawdzenie, czy jest to pierwiastek obcy poprzez podstawienie wyniku do równania wyjściowego:

\sqrt{2\cdot 1-1}=1\\{1=1}

Zatem liczba 1 jest rozwiązaniem rozpatrywanego równania.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: \sqrt{2x^2-1}=x.

\sqrt{2x^2-1}=x/^2\\{2x^2-1=x^2 / -x^2}\\{x^2-1=0}\\{(x-1)(x+1)=0}\\{x=1}\quad{i}\quad{x=-1}

Sprawdzenie:

Podstawiamy pierwszy pierwiastek równania wynikowego:
\sqrt{2\cdot 1^2-1}=1\\{1=1}
Zatem liczba 1 jest rozwiązaniem rozpatrywanego równania.
Podstawiamy drugi pierwiastek równania wynikowego:
\sqrt{2\cdot{(-1)^2-1}=-1}\\{1=-1}
Zatem liczba -1 nie jest rozwiązaniem równania wyjściowego.

Odpowiedź: x=1


© Media Nauka, 2009-06-23, ART-242





Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy