Nauka » Matematyka » Układ nierówności

Zadanie - układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi

Opisać za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku, wiedząc, że punkty A, B i C mają całkowite współrzędne.
Układ nierówności graficznie

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=(0,0), \ C=(2,2)\\ y=a_1x+b_1 \\ 0=a_1\cdot 0+b_1 \\ \underline{b_1=0} \\ 2a_1=2/:2 \\ \underline{a_1=1}\\ y=x \\ y\leq x$

$B=(4,-1), \ C=(2,2)\\ y=a_1x+b_1 \\ \underline{_-\begin{cases}-1=4a_1+b_1 \\ \ 2=2a_1+b_1 \end{cases}}\\ \ \ \ -3=2a/:2 \\ \ \ \ \ \ a=-\frac{3}{2}\\ 2=2a_1+b_1\\ 2=2\cdot(-\frac{3}{2})+b_1\\ 2=-3+b_1\\ b_1=5\\ y=-\frac{3}{2}x+5$
$y\leq -\frac{3}{2}x+5$

$A=(0,0), \ B=(4,-1)\\ y=a_1x+b_1 \\ 0=a_1\cdot 0+b_1 \\ \underline{b_1=0} \\ y=a_1x+b_1 \\ -1=a_1\cdot 4+0 \\ 4a_1=-1/:4 \\ \underline{a_1=-\frac{1}{4}\\ y=-\frac{1}{4}x\\ y\geq -\frac{1}{4}x$

$\begin{cases} y\leq x \\ y\leq -\frac{3}{2}+5 \\ y\geq -\frac{1}{4}x \end{cases}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Figurę geometryczną w układzie współrzędnych można opisać za pomocą układu nierówności, tak jak to widać w zadaniu 237. Musimy w pierwszej kolejności znaleźć równania prostych, które zawierają boki trójkąta. Wypiszemy współrzędne wierzchołków (ponieważ w treści zadania jest informacja o tym, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi, mamy pewność co do odczytu współrzędnych, a nasze rozwiązanie nie będzie przybliżone.)

$A=(0,0)\\ B=(4,-1)\\ C=(2,2)$

Zrobimy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczono proste zawierające boki trójkąta, proste zostały opisane równaniami ogólnymi, zaznaczono także obszary jakie wyznaczają te proste tak, że częścią wspólną wszystkich obszarów jest właśnie trójkąt ABC.

Rozwiązanie graficzne układu nierówności

Krok 1 - wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok AC oraz nierówność wyznaczającą obszar zakreskowany.

Podstawiamy współrzędne punktów A i C do równania ogólnego prostej:

$A=(0,0), \ C=(2,2)\\ y=a_1x+b_1 \\ 0=a_1\cdot 0+b_1 \\ \underline{b_1=0} \\ y=a_1x+b_1 \\ 2=a_1\cdot 2+0 \\ 2a_1=2/:2 \\ \underline{a_1=1}\\ y=a_1x+b_1\\ y=x$ tło

Nierówność która będzie określała obszar zakreskowany będzie następująca:

$y\leq x$

Interesują nas wszystkie punkty leżące poniżej prostej o równaniu y=x lub leżące na prostej.

Krok 2 - wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok BC oraz nierówność wyznaczającą obszar zaznaczony kolorem zielonym.

Podstawiamy współrzędne punktów B i C do równania ogólnego prostej, otrzymując w ten sposób układ równań, który rozwiążemy metodą przeciwnych współczynników::

$B=(4,-1), \ C=(2,2)\\ y=a_1x+b_1 \\ \begin{cases}-1=a_1\cdot 4+b_1 \\ 2=a_1\cdot 2+b_1 \end{cases} \\ \underline{_-\begin{cases}-1=4a_1+b_1 \\ \ 2=2a_1+b_1 \end{cases}}\\ \ \ \ -3=2a/:2 \\ \ \ \ \ \ a=-\frac{3}{2}\\ 2=2a_1+b_1\\ 2=2\cdot(-\frac{3}{2})+b_1\\ 2=-3+b_1\\ b_1=5\\ y=-\frac{3}{2}x+5$

Nierówność która będzie określała obszar zaznaczony kolorem zielonym będzie następująca:

$y\leq -\frac{3}{2}x+5$

Interesują nas wszystkie punkty leżące poniżej prostej o równaniu y=-3/2x+5 lub leżące na prostej.

Krok 3 - wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok AB oraz nierówność wyznaczającą obszar zaznaczony deseniem.

Podstawiamy współrzędne punktów A i B do równania ogólnego prostej:

$A=(0,0), \ B=(4,-1)\\ y=a_1x+b_1 \\ 0=a_1\cdot 0+b_1 \\ \underline{b_1=0} \\ y=a_1x+b_1 \\ -1=a_1\cdot 4+0 \\ 4a_1=-1/:4 \\ \underline{a_1=-\frac{1}{4}\\ y=a_1x+b_1\\ y=-\frac{1}{4}x$ tło

Nierówność która będzie określała obszar zakreskowany będzie następująca:

$y\geq -\frac{1}{4}x$

Interesują nas wszystkie punkty leżące powyżej prostej o równaniu y=-1/4x lub leżące na prostej.

Część wspólna wszystkich wyznaczonych obszarów to nic innego jak trójkąt wraz z brzegiem, znajdujący się na ilustracji w treści zadania. Muszą być więc spełnione wszystkie nierówności, dlatego należy z nich utworzyć układ (spiąć klamrą).

Odpowiedź

$\begin{cases} y\leq x \\ y\leq -\frac{3}{2}+5 \\ y\geq -\frac{1}{4}x \end{cases}$

Zadania podobne

Zadanie - układ nierówności z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ nierówności
$\begin{cases}y<3x+1 \\ y<-3x+1 \\y>x-1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ nierówności z dwomia niewiadomymi
Dany jest układ nierówności
$\begin{cases}x>-1 \\ x<1 \\y>-1\\ y<1 \end{cases}$
Który z punktów:
A(0,0),
B(1,1),
C(0,-1),
należy do graficznego rozwiązania układu nierówności?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ nierówności z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
$\begin{cases} x-y<1 \\ x+y\geq 1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ nierówności z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać układ nierówności:
$\begin{cases} \ \ 2y+x<1 \\ -2y-x<-2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.