Nauka » Matematyka » Układ nierówności pierwszego stopnia

Zadanie - układ nierówności z dwiema niewiadomymi

Rozwiązać graficznie układ nierówności:
$\begin{cases} x-y<1 \\ x+y\geq 1 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\begin{cases} x-y<1 \\ x+y\geq 1 \end{cases}\\ \begin{cases} -y<-x+1/:(-1) \\ y\geq -x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} y>x-1 \\ y\geq -x+1 \end{cases}$
Rozwiązanie graficzne układu nierówności

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nierówności w układzie tak, aby po lewej stronie znajdowała się zmienna y, a po prawej stronie pozostałe czynniki.

$\begin{cases} x-y<1 \\ x+y\geq 1 \end{cases}\\ \begin{cases} -y<-x+1/:(-1) \\ y\geq -x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} y>x-1 \\ y\geq -x+1 \end{cases}$

Sporządzamy w jednym układzie współrzędnych wykresy prostych y=x-1 oraz y=-x+1 (tabelki zmienności obu funkcji poniżej) a następnie zaznaczamy obszary w pierwszym przypadku punktów znajdujących się powyżej punktów prostej y=x-1, a w przypadku drugiej nierówności obszar także powyżej punktów prostej y=-x+1 lub te, które leżą na prostej.

x	0	1
y=x-1	-1	0

x	0	1
y=-x+1	1	0

Część wspólna obu wykresów stanowi rozwiązanie. Jest to obszar podwójnie zakreskowany, zaznaczony kolorem bladozielonym. Uwaga: jeden brzeg (ten z lewej strony) należy do rozwiązania, drugi brzeg figury nie należy do rozwiązania układu. Punkt przecięcia się obu prostych także nie należy do rozwiązania układu nierówności.