Logo Media Nauka

Zadanie - figury geometryczne


Ile maksymalnie prostych może wyznaczyć 10 punktów na płaszczyźnie? A ile w przestrzeni?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x=C_{10}^2={10\choose 2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{\cancel{8!}\cdot 9 \cdot 10}{2\cdot \cancel{8!}}=\frac{90}{2}=45

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę wyznaczonych prostych przez 10 punktów, z których każde 3 nie są współliniowe możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego. Dlaczego każde trzy mają być niewspółliniowe? Otóż, jeżeli dowolne trzy punkty będą współliniowe, to te trzy punkty wyznaczą dwie proste identyczne. W treści zadania szukamy maksymalnej liczby prostych, a więc nie interesują nas przypadki, w których proste są identyczne.

Mamy więc zbiór 10-elementowy punktów. Wybieramy dwa dowolne punkty, które zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej wyznaczają jedną prostą (wybieramy 2 elementy ze zbioru 10-punktów, czyli k=2). Kolejność wyboru punktów nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy punkt A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jedną prostą między nimi. Punkty są różne i nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne punkty), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru 10-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.) Liczbę kombinacji oraz liczbę wyznaczonych prostych x obliczamy następująco:

C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Dla k=2 i n=10 mamy:

x=C_{10}^2={10\choose 2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{\cancel{8!}\cdot 9 \cdot 10}{2\cdot \cancel{8!}}=\frac{90}{2}=45

W przestrzeni punkty te wyznaczają tyle samo prostych

ksiązki Odpowiedź

x = 45

© medianauka.pl, 2010-10-25, ZAD-992

Zadania podobne

kulkaZadanie - figury geometryczne
Dane są dowolne proste a i b. Określić figury:
a\cup b, \ a\cap b, \ a\backslash b, \ b\backslash a

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - działania na figurach
Dany jest okrąg k i prosta p przechodząca przez środek okręgu. Opisać figury:
k\cup p, \ k\cap p, \ k\backslash p, \ p\backslash k

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - działania na figurach geometrycznych
Dane są dwa trójkąty t1 i t2 usytuowane względem siebie tak, jak pokazuje rysunek.
gwiazda
Zakreskować figury:
a)t_1\cup t_2\\ b)t_1\cap t_2\\ c)t_1\backslash t_2\\ d)t_1\backslash t_2\\ e)(t_1\backslash t_2)\cup (t_2\backslash t_1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - działania na figurach geometrycznych
Opisać za pomocą działań na zbiorach część zakreskowaną kół k1, k2, k3
figury

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.