Nauka » Matematyka » Wykres funkcji homograficznej

Zadanie maturalne nr 3, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej f(x), której dziedziną jest zbiór \(D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)\).

ilustracja do zadania maturalnego 3

Równanie \(|f(x)|=p\) z niewiadomą \(x\) ma dokładnie jedno rozwiązanie

A. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=3\).

B. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=2\).

C. tylko wtedy, gdy \(p=3\).

D. tylko wtedy, gdy \(p=2\).

Rozwiązanie zadania

Narysujmy najpierw wykres funkcji \(|f(x)|=p\). Wartość funkcji znajduje się pod wartością bezwzględna, więc wszystkie ujemne wartości (części wykresu) odbijamy względem osi \(OX\), aby uzyskać wartości dodatnie. Wykres naszej funkcji \(y=|f(x)|\) będzie wyglądał następująco:

ilustracja - etap I

Mamy wykres funkcji \(y=|f(x)|\), natomiast jak znaleźć rozwiązanie równania \(|f(x)|=p\)? Wystarczy znaleźć punkty wspólne wykresu naszej funkcji z prostą o równaniu \(y=p\). Zmieniając wartość \(p\), przesuwamy poziomą linię wykresu funkcji \(y=p\) w górę lub w dół. Badamy wówczas kiedy wykresy przecinają się w jednym punkcie. Ma to miejsce w dwóch przypadkach (patrze rysunek).

Rysunek

We wszystkich pozostałych przypadkach mamy do czynienia z dwoma punktami przecięcia się wykresów, a więc z dwoma rozwiązaniami równania. Mamy więc rozwiązanie zadania dla \(p=0\) i \(p=2\).