Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Rozwiązanie zadania
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa \(0\). Mamy więc:
\(1+a+b+c=0\)
\(c=-1-a-b"\)
Nasz wielomian przyjmuje postać:
\(W(x)=x^3+ax^2+bx+-1-a-b\)
\(W(x)=x^3-1+ax^2-a+bx-b\)
\(W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x^2-1)+b(x-1)\)
\(W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x-1)(x+1)+b(x-1)\)
\(W(x)=(x-1)(x^2+(a+1)x+a+b+1)\)
Z pewnością liczba \(1\) jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Z warunków zadania wynika, że pierwiastki naszego wielomianu tworzą ciąg geometryczny o różnicy \(3\). Mamy więc trzy możliwe przypadki takich ciągów:
\((1,4,7), (-2,1,7), (-5,-2,1)\)
Przypadek 1) Analizujemy ciąg \((1,4,7)\). Wówczas nasz wielomian możemy zapisać w postaci:
\(W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)\)
\(W(x)=(x^2-4x-x+4)(x-7)\)
\(W(x)=(x^2-5x+4)(x-7)\)
\(W(x)=x^3-7x^2-5x^2+35x+4x-28\)
W(x)=x^3-12x^2+39x-28\)
Porównując otrzymany wielomian z wzorem \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) otrzymujemy:
a=-12,\ b=39,\ c=-28
Podobnie postępujemy w kolejnych przypadkach:
Przypadek 2) Analizujemy ciąg \((-2,1,7)\).
\(W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)\)
\(W(x)=(x^2-x+2x-2)(x-4)\)
\(W(x)=(x^2+x-2)(x-4)\)
\(W(x)=x^3-4x^2+x^2-4x-2x+8\)
\(W(x)=x^3-3x^2-6x+8\)
\(a=-3,\ b=-6,\ c=8\)
Przypadek 3) Analizujemy ciąg \((-5,-2,1)\).
\(W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)\)\(W(x)=(x^2+2x+5x+10)(x-1)\)
\(W(x)=(x^2+7x+10)(x-1)\)
\(W(x)=x^3-x^2+7x^2-7x+10x-10\)
\(W(x)=x^3+6x^2+3x-10\)
\(a=6,\ b=3,\ c=-10\)
Otrzymaliśmy odpowiedź:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3373
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozłożyć na czynniki wielomian:
a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)
b) \(W(x)=x^8-1\)
c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)
d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)
Zadanie nr 2.
Rozłożyć wielomian:
a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)
b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)
na czynniki metodą grupowania wyrazów.
Zadanie nr 3.
Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez
A. \(x-3\)
B. \(x^2+9\)
C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)
D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)