Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)


Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+c jest równa 0. Mamy więc:

1+a+b+c=0\\c=-1-a-b

Nasz wielomian przyjmuje postać:

W(x)=x^3+ax^2+bx+-1-a-b\\W(x)=x^3-1+ax^2-a+bx-b\\W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x^2-1)+b(x-1)\\W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x-1)(x+1)+b(x-1)\\W(x)=(x-1)(x^2+(a+1)x+a+b+1)

Z pewnością liczba 1 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Z warunków zadania wynika, że pierwiastki naszego wielomianu tworzą ciąg geometryczny o różnicy 3. Mamy więc trzy możliwe przypadki takich ciągów:

(1,4,7), (-2,1,7), (-5,-2,1)

Przypadek 1) Analizujemy ciąg (1,4,7). Wówczas nasz wielomian możemy zapisać w postaci:

W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)\\W(x)=(x^2-4x-x+4)(x-7)\\W(x)=(x^2-5x+4)(x-7)\\W(x)=x^3-7x^2-5x^2+35x+4x-28\\W(x)=x^3-12x^2+39x-28

Porównując otrzymany wielomian z wzorem W(x)=x^3+ax^2+bx+c otrzymujemy:

a=-12, b=39, c=-28

Podobnie postępujemy w kolejnych przypadkach:

Przypadek 2) Analizujemy ciąg (-2,1,7).

W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)\\W(x)=(x^2-x+2x-2)(x-4)\\W(x)=(x^2+x-2)(x-4)\\W(x)=x^3-4x^2+x^2-4x-2x+8\\W(x)=x^3-3x^2-6x+8\\a=-3\\b=-6\\c=8

Przypadek 3) Analizujemy ciąg (-5,-2,1).

W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)\\W(x)=(x^2+2x+5x+10)(x-1)\\W(x)=(x^2+7x+10)(x-1)\\W(x)=x^3-x^2+7x^2-7x+10x-10\\W(x)=x^3+6x^2+3x-10\\a=6\\b=3\\c=-10

Otrzymaliśmy odpowiedź:

ksiązki Odpowiedź

a=-12, b=39, c=-28 lub a=-3, b=-6, c=8 lub a=6, b=3, c=-10

© CKE, 2017-01-10


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy