Zadanie maturalne nr 32, matura 2015 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy, pod kątem którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie zadania
Graniastosłup prawidłowy, to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, w naszym przypadku kwadrat. Wykonujemy szkic i wprowadzamy oznaczenia na rysunku. Zauważamy, że cosinus kąta alfa jest równy \(\frac{3}{5}\), co oznacza, że stosunek długości przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym do przeciwprostokątnej wynosi \(\frac{3}{5}\). Długości odpowiednich odcinków oznaczamy wiec przez \(3x\) i \(5x\), wówczas stosunek \(\frac{3x}{5x}\) będzie równy \(\frac{3}{5}\) i wyznaczymy jedną z szukanych długości.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby wyznaczyć \(x\).
Długość przekątnej podstawy to iloczyn \(a\) i pierwiastka z dwóch, a z drugiej strony \(3x\). Wartość \(x\) już znamy, możemy więc z tego warunku obliczyć \(a\).
\(a\sqrt{2}=3\cdot 4\)
\(a=\frac{12}{\sqrt{2}}=\frac{12\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=6\sqrt{2}\)
Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa obliczymy dodając do siebie pola czterech ścian oraz dwa pola podstawy.
\(P=4ah+2a^2=4\cdot 16\cdot 6\sqrt{2}+2(6\sqrt{2})^2=144+384\sqrt{2}\)
© medianauka.pl, 2016-12-15, ZAD-3330
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Zadanie nr 2 — maturalne.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. \(\angle HOL\)
B. \(\angle OGL\)
C. \(\angle HLO\)
D. \(\angle OHL\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A. \(\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)
B. \(8^2\cdot \sqrt{3}\)
C. \(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)
D. \(8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa
A. \(560\ cm^3\)
B. \(280\ cm^3\)
C. \(\frac{280}{3} cm^3\)
D. \(\frac{560}{3} cm^3\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin{\alpha}=\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe 26,4. Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. \(15\sqrt{2}\)
B. \(45\)
C. \(5\sqrt{2}\)
D. \(10\)