Symbol sigma (Σ)

Teoria Jeżeli dodajemy do siebie wiele składników i zauważamy pewną regułę, możemy do oznaczenia sumy stosować znak "sigma" (Σ).

Zamiast pisać 1+2+3+4+5+6+7+8+9 możemy napisać:

sigma.

Przeanalizujmy ten zapis: Wprowadza się tutaj tak zwany indeks (wskaźnik) oznaczony literą "i", który zmienia się w odstępie co 1 dla każdego kolejnego składnika sumy od wartości zapisanej pod znakiem "sigma" do wartości zapisanej nad znakiem "sigma". W naszym przypadku dodajemy liczby różniące się o 1 począwszy od jedynki aż do 9, dlatego można było zastosować właśnie taką skróconą notację.

Próbując rozumować w drugą stronę (rozwinąć skrócony zapis) przyjmujemy początkową wartość indeksu (zapisaną pod znakiem "sigma") i wstawiamy tę wartość do wzoru przy znaku "sigma". Otrzymujemy pierwszy składnik sumy. Następnie zwiększamy wartość wskaźnika "i" o jeden i znów podstawiamy do wzoru przy znaku "sigma". Podstawiamy wskaźnik tak długo, aż przyjmie wartość zapisaną nad symbolem "sigma" (wówczas tę wartość ostatni raz podstawiamy do wzoru).

Powyższy zapis czytamy następująco: suma składników postaci "i" rozciągnięta na wskaźniki od 1 do 9 (lub krócej: suma po "i" od i=1 do 9).

Animacja

Animacja


sigma - animacja

Zapis ten jest często stosowany w matematyce, warto więc przyjrzeć się innym przykładom:

Przykład Przykład

SumaSpostrzeżeniaSkrócony zapis
5+6+7+8+9+...+1000Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od 5 do 1000sigma - przykład
-1+0+1+2+3+4+5+...Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od -1 do nieskończoności.sigma - przykład
...+(-2)+(-1)+0+1+2+3+...Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od minus nieskończoności do plus nieskończoności.sigma - przykład
0+2+4+6+8+...Kolejne składniki sumy różnią się o 2 i zmieniają się w zakresie od 0 do plus nieskończoności. Tutaj również można zastosować zapis "sigma", jeśli zauważymy, że 0+2+4+6+8+... = 0x2+1x2+2x2+3x2+4x2+... Teraz widzimy, że w każdym składniku sumy mamy stały czynnik 2 i wskaźnik (wyróżniony pogrubioną czcionką), który zmienia się od 0 do nieskończoności.sigma - przykład
1+3+5+7+9+...Kolejne składniki sumy różnią się o 2 i zmieniają się w zakresie od 1 do plus nieskończoności. Tutaj również można zastosować zapis "sigma", jeśli zauważymy, że 1+3+5+7+... = (0x2+1)+(1x2+1)+(2x2+1)+(3x2+1)+... Teraz widzimy, że w każdym składniku sumy występuje wskaźnik (wyróżniony pogrubioną czcionką), który zmienia się od 0 do nieskończoności.sigma - przykład
a1+a2+a3+...+anMamy tutaj sumę wyrazów ogólnych. Z łatwością można znaleźć wskaźnik, po którym można sumować (jest to indeks dolny wyrazu "a", który zmienia się od 1 do n).sigma - przykład
1+8+27+64+125+...Mamy tutaj sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych, a więc 13+23+33+43+53+... . Wskaźnikiem, po którym można sumować jest podstawa potęgi.sigma - przykład
(x+1)5+(x+2)6+(x+3)7+ ... Mamy tutaj dwa wskaźniki, ponieważ zmienia się potęga oraz składnik sumy w nawiasie. Ponieważ wskaźniki te różnią się siebie o stałą wartość, można zastosować zapis tradycyjny, ale można także wprowadzić dwa wskaźniki i oraz j.sigma - przykład
sigma - przykład
(12+13)+(22+23)+(32+33)+... To bardziej skomplikowany przykład. Zauważmy, że w każdym nawiasie mamy sumę, którą można zapisać za pomocą symbolu sigma: sigma - przykład, ale tutaj widzimy również kolejny wskaźnik (w każdym symbolu sigma: 1,2,3,...), możemy więc znów sumować po tym wskaźniku ("j")sigma - przykład

zadanie Zadanie

Wykazać, że
sigma - przykład.
Aby wykazać, że stałą wartość można wyłączyć przed znak "sigma", wystarczy rozpisać sumę, wyłączyć liczbę 2 przed nawias i dla sumy w nawiasie zastosować symbol "sigma":
sigma - przykład

zadanie Zadanie

Oblicz:

sigma - przykład.

Rozwiązanie:
sigma - przykład



© medianauka.pl, 2008-12-05, ART-116


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Symbol sigma

zadanie-ikonka Zadanie - symbol sigma, zastosowanie symbolu sigma
Oblicz:
a) \sum_{i=-2}^{2}\frac{i}{i+4}
b) \sum_{i=1}^{4}i^i
c) \sum_{i=1}^{5}(i-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - zastosowanie symbolu sigma
Zapisać sumę 6+18+54+162+486 za pomocą symbolu "Σ".

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczenia sumy i iloczynu
Oblicz: \sum_{j=1}^{3}\prod_{i=1}^{5}ij

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

SumaSuma
Dodawanie (suma) jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Symbolem tego działania jest + (plus).
Dodawanie pisemneDodawanie pisemne
Dodawanie pisemne - procedura, przykłady, gra edukacyjna, kalkulator i quizy
Dodawanie ułamków zwykłychDodawanie ułamków zwykłych
Dodawanie ułamków odbywa się poprzez sprowadzenie ich do wspólnego mianownika.


Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.