Symbol sigma (Σ)
Jeżeli dodajemy do siebie wiele składników i zauważamy pewną regułę, możemy do oznaczenia sumy stosować znak "sigma" (Σ).
Zamiast pisać 1+2+3+4+5+6+7+8+9 możemy napisać:
.
Przeanalizujmy ten zapis: Wprowadza się tutaj tak zwany indeks (wskaźnik) oznaczony literą "i", który zmienia się w odstępie co 1 dla każdego kolejnego składnika sumy od wartości zapisanej pod znakiem "sigma" do wartości zapisanej nad znakiem "sigma". W naszym przypadku dodajemy liczby różniące się o 1 począwszy od jedynki aż do 9, dlatego można było zastosować właśnie taką skróconą notację.
Próbując rozumować w drugą stronę (rozwinąć skrócony zapis) przyjmujemy początkową wartość indeksu (zapisaną pod znakiem "sigma") i wstawiamy tę wartość do wzoru przy znaku "sigma". Otrzymujemy pierwszy składnik sumy. Następnie zwiększamy wartość wskaźnika "i" o jeden i znów podstawiamy do wzoru przy znaku "sigma". Podstawiamy wskaźnik tak długo, aż przyjmie wartość zapisaną nad symbolem "sigma" (wówczas tę wartość ostatni raz podstawiamy do wzoru).
Powyższy zapis czytamy następująco: suma składników postaci "i" rozciągnięta na wskaźniki od 1 do 9 (lub krócej: suma po "i" od i=1 do 9).

Animacja

Zapis ten jest często stosowany w matematyce, warto więc przyjrzeć się innym przykładom:
Przykład
Suma | Spostrzeżenia | Skrócony zapis |
---|---|---|
5+6+7+8+9+...+1000 | Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od 5 do 1000 | ![]() |
-1+0+1+2+3+4+5+... | Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od -1 do nieskończoności. | ![]() |
...+(-2)+(-1)+0+1+2+3+... | Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od minus nieskończoności do plus nieskończoności. | ![]() |
0+2+4+6+8+... | Kolejne składniki sumy różnią się o 2 i zmieniają się w zakresie od 0 do plus nieskończoności. Tutaj również można zastosować zapis "sigma", jeśli zauważymy, że 0+2+4+6+8+... = 0x2+1x2+2x2+3x2+4x2+... Teraz widzimy, że w każdym składniku sumy mamy stały czynnik 2 i wskaźnik (wyróżniony pogrubioną czcionką), który zmienia się od 0 do nieskończoności. | ![]() |
1+3+5+7+9+... | Kolejne składniki sumy różnią się o 2 i zmieniają się w zakresie od 1 do plus nieskończoności. Tutaj również można zastosować zapis "sigma", jeśli zauważymy, że 1+3+5+7+... = (0x2+1)+(1x2+1)+(2x2+1)+(3x2+1)+... Teraz widzimy, że w każdym składniku sumy występuje wskaźnik (wyróżniony pogrubioną czcionką), który zmienia się od 0 do nieskończoności. | ![]() |
a1+a2+a3+...+an | Mamy tutaj sumę wyrazów ogólnych. Z łatwością można znaleźć wskaźnik, po którym można sumować (jest to indeks dolny wyrazu "a", który zmienia się od 1 do n). | ![]() |
1+8+27+64+125+... | Mamy tutaj sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych, a więc 13+23+33+43+53+... . Wskaźnikiem, po którym można sumować jest podstawa potęgi. | ![]() |
(x+1)5+(x+2)6+(x+3)7+ ... | Mamy tutaj dwa wskaźniki, ponieważ zmienia się potęga oraz składnik sumy w nawiasie. Ponieważ wskaźniki te różnią się siebie o stałą wartość, można zastosować zapis tradycyjny, ale można także wprowadzić dwa wskaźniki i oraz j. | ![]() ![]() |
(12+13)+(22+23)+(32+33)+... | To bardziej skomplikowany przykład. Zauważmy, że w każdym nawiasie mamy sumę, którą można zapisać za pomocą symbolu sigma: ![]() | ![]() |
Zadanie
Wykazać, że.
Aby wykazać, że stałą wartość można wyłączyć przed znak "sigma", wystarczy rozpisać sumę, wyłączyć liczbę 2 przed nawias i dla sumy w nawiasie zastosować symbol "sigma":
Zadanie
Oblicz:
.
Rozwiązanie:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 2.
Zapisać sumę 6+18+54+162+486 za pomocą symbolu "Σ".Inne zagadnienia z tej lekcji
Suma

Dodawanie (suma) jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Symbolem tego działania jest + (plus).
Dodawanie ułamków zwykłych

Dodawanie ułamków odbywa się poprzez sprowadzenie ich do wspólnego mianownika.
© medianauka.pl, 2008-12-05, ART-116