Symbol sigma (Σ)

Jeżeli dodajemy do siebie wiele składników i zauważamy pewną regułę, możemy do oznaczenia sumy stosować znak sigma (\(\displaystyle\sum\)).

Zamiast pisać \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9\) możemy napisać:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^9 i\).

Przeanalizujmy ten zapis: Wprowadza się tutaj tak zwany indeks (wskaźnik), oznaczony literą „i”, który zmienia się w odstępie co 1 dla każdego kolejnego składnika sumy od wartości zapisanej pod znakiem „sigma”, do wartości zapisanej nad znakiem „sigma”. W naszym przypadku dodajemy liczby różniące się o 1, począwszy od jedynki, aż do 9. Dlatego można było zastosować właśnie taką skróconą notację.

Próbując rozumować w drugą stronę (rozwinąć skrócony zapis), przyjmujemy początkową wartość indeksu (zapisaną pod znakiem „sigma”) i wstawiamy tę wartość do wzoru przy znaku „sigma”. Otrzymujemy pierwszy składnik sumy. Następnie zwiększamy wartość wskaźnika „i” o jeden i znów podstawiamy do wzoru przy znaku „sigma”. Podstawiamy wskaźnik tak długo, aż przyjmie wartość zapisaną nad symbolem „sigma”. Wówczas tę wartość ostatni raz podstawiamy do wzoru.

Powyższy zapis czytamy następująco: suma składników postaci „i” rozciągnięta na wskaźniki od 1 do 9 (lub krócej: suma po „i” od \(i = 1\) do \(i = 9\)).

Animacja

Zapis ten jest często stosowany w matematyce, warto więc przyjrzeć się innym przykładom:

Przykłady

Suma	Spostrzeżenia	Skrócony zapis
\(5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 1000\)	Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od 5 do 1000.	\(\displaystyle\sum_{i=5}^{1000} i\)
\(-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...\)	Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od -1 do nieskończoności.	\(\displaystyle\sum_{i=-1}^{\infty} i\)
\(... + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + ...\)	Kolejne składniki sumy różnią się o 1 i zmieniają się w zakresie od minus nieskończoności do plus nieskończoności.	\(\displaystyle\sum_{i=-\infty}^{\infty} i\)
\(0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ...\)	Kolejne składniki sumy różnią się o 2 i zmieniają się w zakresie od 0 do plus nieskończoności. Tutaj również można zastosować zapis sigma, jeśli zauważymy, że \(0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... =\) \(=0\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 2+3\cdot 2+4\cdot 2+...\). Teraz widzimy, że w każdym składniku sumy mamy stały czynnik 2 i wskaźnik, który zmienia się od 0 do nieskończoności.	\(\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} 2i\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...\)	Kolejne składniki sumy różnią się o 2 i zmieniają się w zakresie od 1 do plus nieskończoności. Tutaj również można zastosować zapis sigma, jeśli zauważymy, że \(1+3+5+7+... =\) \(= (0\cdot 2+1)+(1\cdot 2+1)+(2\cdot 2+1)+(3\cdot 2+1)+...\). Teraz widzimy, że w każdym składniku sumy występuje wskaźnik (wyróżniony pogrubioną czcionką), który zmienia się od 0 do nieskończoności.	\(\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} (2i+1)\)
\(a_1+ a_1+ a_3+ ... + a_n\)	Mamy tutaj sumę wyrazów ogólnych. Z łatwością można znaleźć wskaźnik, po którym można sumować (jest to indeks dolny wyrazu „a”, który zmienia się od \(1\) do \(n\)).	\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i\)
\(1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ...\)	Mamy tutaj sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych, a więc \(1^3 + 2^3 + 3^3+ 4^3+ 5^3 + ...\) . Wskaźnikiem, po którym można sumować, jest podstawa potęgi.	\(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} i^3\)
\((x+1)^5 + (x+2)^6 + (x+3)^7 + ...\)	Mamy tutaj dwa wskaźniki, ponieważ zmienia się potęga oraz składnik sumy w nawiasie. Ponieważ wskaźniki te różnią się siebie o stałą wartość, można zastosować zapis tradycyjny, ale można także wprowadzić dwa wskaźniki i oraz j.	\(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} (x+i)^{i+4}\) lub \(\displaystyle\sum_{\displaylines{i=1 \\\ j=5}}^{\infty} (x+i)^j\)
\((1^2+1^3) + (2^2+2^3) + (3^2+3^3) + ...\)	To bardziej skomplikowany przykład. Zauważmy, że w każdym nawiasie mamy sumę, którą można zapisać za pomocą symbolu sigma: \(\displaystyle\sum_{i=2}^{3} 1^i + \displaystyle\sum_{i=2}^{3} 2^i +\displaystyle\sum_{i=2}^{3} 3^i + ...\), ale tutaj widzimy również kolejny wskaźnik (w każdym symbolu sigma: 1, 2, 3, ...), możemy więc znów sumować po tym wskaźniku (j).	\(\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \displaystyle\sum_{i=2}^{3} j^i\)

Przykłady

Wykazać, że

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} 2i= 2\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} i \)

Aby wykazać, że stałą wartość można wyłączyć przed znak "sigma", wystarczy rozpisać sumę, wyłączyć liczbę 2 przed nawias i dla sumy w nawiasie zastosować symbol "sigma":

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} 2i= 2+4+6+8+...=2(1+2+3+4+...)=2\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} i \)