Logo Serwisu Media Nauka


Układ nierówności pierwszego stopnia

Teoria Analogicznie do układów równań możemy rozpatrywać układy nierówności. Na przykład:

\begin{cases}a_1x+b_1y>c_1\\a_2x+b_2y\leq{c_2}\end{cases}

Podano tutaj przykładowe znaki nierówności. Ze względu na możliwy kierunek i rodzaj nierówności otrzymujemy wiele możliwości różnych układów nierówności.

Jeżeli obie nierówności w układzie nierówności są nierównościami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Definicja Definicja

Zbiór wszystkich par liczb (x,y), które spełniają jednocześnie obie nierówności nazywamy rozwiązaniem układu tych nierówności.

Przykład Przykład

Oto przykład układu nierówności:

\begin{cases}x+y>0\\x-y<1\end{cases}

Para liczb (3,4) jest jednym z rozwiązań powyższego układu nierówności. Możemy to sprawdzić, podstawiając te liczby do obu nierówności.

\begin{cases}3+4>0\\3-4<1\end{cases}\\{\begin{cases}7>0\\-1<1\end{cases}}

Rozwiązać układ nierówności to znaczy znaleźć wszystkie rozwiązania tego układu nierówności, albo wykazać, że jest nim zbiór pusty. Zbiór rozwiązań układu nierówności jest iloczynem rozwiązań (częścią wspólną) wszystkich zbiorów rozwiązań poszczególnych nierówności układu.

Układy nierówności najłatwiej rozwiązać graficznie.

Wystarczy wykreślić wykresy obu nierówności i zakreskować część wspólną obu zbiorów rozwiązań, tak jak to zrobiono dla poniższego przykładu.

Przykład Przykład

Rozwiążemy graficznie układ nierówności

\begin{cases}x+y>0\\x-y<1\end{cases}

Wyznaczmy y z obu nierówności:

\begin{cases}y>-x\\-y<1-x/\cdot{(-1)}\end{cases}\\\begin{cases}y>-x\\y>x-1\end{cases}

Wykreślamy w układzie współrzędnych proste o równaniach: y=-x oraz y=x-1 i zaznaczamy obszary rozwiązań obu nierówności (na żółto y>-x i na niebiesko y>x-1). Rozwiązanie układu tych nierówności reprezentuje obszar będący częścią wspólną wcześniej zaznaczonych obszarów (zielonkawy kolor) . Ponieważ nierówności są ostre, punkty należące do prostych nie należą do wykresu układu nierówności.

Wykres funkcji y=3x

© Media Nauka, 2009-07-05, ART-261



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 237 - układ nierówności z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ nierówności
\begin{cases}y<3x+1 \\ y<-3x+1 \\y>x-1 \end{cases}

zadanie - ikonka Zadanie 238 - układ nierówności z dwomia niewiadomymi
Dany jest układ nierówności
\begin{cases}x>-1 \\ x<1 \\y>-1\\ y<1 \end{cases}
Który z punktów:
A(0,0),
B(1,1),
C(0,-1),
należy do graficznego rozwiązania układu nierówności?

zadanie - ikonka Zadanie 239 - układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi
Opisać za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku, wiedząc, że punkty A, B i C mają całkowite współrzędne.
Układ nierówności graficznie

zadanie - ikonka Zadanie 240 - układ nierówności z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\begin{cases} x-y<1 \\ x+y\geq 1 \end{cases}

zadanie - ikonka Zadanie 241 - układ nierówności z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać układ nierówności:
\begin{cases} \ \ 2y+x<1 \\ -2y-x<-2 \end{cases}



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy