Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 21 - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze


Rozwiązać równanie wykładnicze (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Poniżej przedstawiono uproszczone rozwiązanie zadania.

(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2-1^2}{\sqrt{2}+1} \\(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}
(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)^{-1}
x+\sqrt{2}=-1 \\ x=-1-\sqrt{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Stosujemy tutaj metodę, często wykorzystywaną w różnych zadaniach, w których pojawia się pierwiastek.

(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)\cdot 1 \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2-1^2}{\sqrt{2}+1} \\(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1} tło tło tło tło tło

Zastosowaliśmy tutaj (fragment obliczeń zaznaczony na fioletowo) wzór skróconego mnożenia:

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Po prawej stronie równania możemy się pozbyć ułamka, wykorzystując własność potęg:

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1} \\ (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)^{-1} tło tło

Znając twierdzenie o równości potęg, możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg. Dalej już wystarczy rozwiązać zwykłę równanie liniowe, otrzymując rozwiązanie równania.

x+\sqrt{2}=-1 \\ x=-1-\sqrt{2}

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania jest liczba x=-1-\sqrt{2}

© Media Nauka, 2009-11-28


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy