Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 500 - ekstremum funkcji a pochodna


Znaleźć ekstremum funkcji f(x)=2x+\frac{1}{x}.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=2-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2-1}{x^2}=0\\ 2x^2-1=0/:2\\ x^2-\frac{1}{2}=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{2}})(x+\sqrt{\frac{1}{2}})=0\\ \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ (x-\frac{\sqrt{2}}{2})(x+\frac{\sqrt{2}}{2})=0

(-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrowmax\searrowmin\nearrow

f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}
f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=2x+\frac{1}{x}

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.

f'(x)=(2x+\frac{1}{x})'=(2x+x^{-1})'=2-x^{-2}=2-\frac{1}{x^2}

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

f'(x)=0\\ 2-\frac{1}{x^2}=0\\ 2\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2-1}{x^2}=0

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

x^2-1=0/:2\\ x^2-\frac{1}{2}=0

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

x^2-(\sqrt{\frac{1}{2}})^2=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{2}})(x+\sqrt{\frac{1}{2}})=0

Pozbądźmy się jeszcze niewymierności z mianownika:

\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Mamy więc:

(x-\frac{\sqrt{2}}{2})(x+\frac{\sqrt{2}}{2})=0

W punktach -\frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2} funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy wykres, z którego odczytujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Rysunek pomocniczy

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

(-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrowmax\searrowmin\nearrow

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x1 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie x2 przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}\\ f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}

ksiązki Odpowiedź

Funkcja posiada jedno maksimum w punkcie -\frac{\sqrt{2}}{2} równe -2\sqrt{2} oraz jedno minimum w punkcie \frac{\sqrt{2}}{2} równe 2\sqrt{2}

© medianauka.pl, 2010-09-23, ZAD-934


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.