WYŁĄCZANIE CZYNNIKA PRZED PIERWIASTEK

Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Z własności działań na pierwiastkach mamy:

$\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b},\ a\geq0,\ b\geq 0$

Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a ⁿ∙b

Przyjrzyjmy się zatem przykładom:

$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\\ \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}$

Powyższe przykłady dotyczą małych liczb. Co zrobić, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami pod pierwiastkiem? Korzystamy wówczas z rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Następnie zakreślamy po tyle samo liczb pierwszych (najlepiej w różny sposób kolejne grupy) ile wynosi stopień pierwiastka i mnożymy przez siebie po jednej z każdej grupy otrzymując w ten sposób liczbę a ze wzoru a ⁿ∙b. Liczbę b stanowi iloczyn niezakreślonych liczb pierwszych.

Opisany wyżej sposób ilustruje przykład:

Obliczamy $\sqrt[3]{1296}$ .

Rozkładamy więc liczbę 1296 na czynniki pierwsze i ponieważ obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia zaznaczamy grupy takich samych liczb po 3 tak, jak to ilustruje rysunek.
Zgodnie z powyższą procedurą mamy a = 2 ∙ 3 = 6 (z zakreślonych liczb) oraz b = 2 ∙ 3 = 6 (z pozostałych niezakreślonych liczb). Zatem 1296 = 6 ³ ∙ 6. Z tego $\sqrt[3]{1296}=\sqrt[3]{6^3\cdot 6}=6\sqrt[3]{6}$ .

Powyższa procedura jest prosta, ale ma jedną wadę - trzeba ją pamiętać.
Można więc po prostu skorzystać z prostego rachunku, aby uzyskać ten sam wynik.
Z rozkładu na czynniki pierwsze oraz z działań na potęgach wiemy: 1296=2∙2∙2∙2∙3∙3∙3∙3=2³∙2∙3³∙3=6³∙6

Warto poćwiczyć wyłączanie czynnika przed pierwiastek, ponieważ spotkasz się z tym praktycznie na każdym kroku podczas rozwiązywania zadań. Proponuję aby wyjąć czynnik przed pierwiastek stopnia drugiego, trzeciego, czwartego i piątego dowolnej liczby z zakresu od 10 do 10000 i sprawdzić wynik w tablicach w niniejszym portalu.