Prawa de Morgana
Prawa de Morgana dotyczą rachunku zdań, a także rachunku zbiorów oraz kwantyfikatorów.
Dla rachunku zdań mamy określone następujące prawa:
Pierwsze prawo de Morgana
I prawo de Morgana:
Powyższe prawo można słownie wyrazić poprzez zdanie:
Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań logicznych jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.
Innymi słowy zdanie: nieprawda, że p i q ma taką samą wartość logiczną co: nieprawda, że p lub nieprawda, że q
Przykład
Zamiast zdania: nieprawda, że Słońce jest planetą i jest osiem razy większe od Jowisza możemy powiedzieć: nieprawda, że Słońce jest planetą lub nieprawda, że Słońce jest osiem razy większe od Jowisza
Dowód
Aby udowodnić pierwsze prawo de Morgana należy wykazać, że zdania ~(p∧q) oraz (~p)∨(~q) są równoważne (mają takie same wartości logiczne). Przeprowadzimy dowód dla wszystkich możliwych wartości logicznych.
Obliczymy najpierw wartości logiczne zdania 
| p | q | Wyznaczamy wartości iloczynu logicznego zdań p i q | p∧q | Negujemy wyniki z poprzedniej kolumny i otrzymujemy wynik | ~(p∧q) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | ||
| 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Obliczymy teraz wartości logiczne zdania (~p)∨(~p):
| p | q | Negujemy zdania p i q | ~p | ~q | Sumujemy logicznie zaprzeczenia zdań p i q i otrzymujemy wynik | (~p)∨(~p) |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Widać, że wartości logiczne w ostatnich kolumnach obu tabel są takie same, a zatem wykazaliśmy równoważność zdań ~(p∧q) oraz (~p)∨(~q).
© medianauka.pl, 2008-05-31, ART-45
Inne zagadnienia z tej lekcji
Zdanie logiczneZdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać prawdę lub fałsz
NegacjaNegacja (zaprzeczenie) to zdanie: nieprawda, że p i oznaczamy w następujący sposób: ~p
KoniunkcjaKoniunkcja, iloczyn logiczny. Zdanie p i q nazywamy koniunkcją lub iloczynem logicznym i oznaczamy p wedge q.
AlternatywaZdanie p lub q to alternatywa lub suma logiczna.
Równoważność zdańRównoważność zdań p i q jest to zdanie orzekające, że zdania p i q mają tę samą wartość logiczną.
II prawo de MorganaII prawo de Morgana - zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań logicznych jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań.
Test wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.