Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Prawa de Morgana

Prawa de Morgana dotyczą rachunku zdań, a także rachunku zbiorów oraz kwantyfikatorów.

Dla rachunku zdań mamy określone następujące prawa:

Pierwsze prawo de Morgana

Teoria I prawo de Morgana:

~(p∧q)⇔(~p)∨(~q)

Powyższe prawo można słownie wyrazić poprzez zdanie:

Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań logicznych jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.

Innymi słowy zdanie: nieprawda, że p i q ma taką samą wartość logiczną co: nieprawda, że p lub nieprawda, że q

Przykład Przykład

Zamiast zdania: nieprawda, że Słońce jest planetą i jest osiem razy większe od Jowisza możemy powiedzieć: nieprawda, że Słońce jest planetą lub nieprawda, że Słońce jest osiem razy większe od Jowisza

Teoria Dowód

Aby udowodnić pierwsze prawo de Morgana należy wykazać, że zdania ~(p∧q) oraz (~p)∨(~q) są równoważne (mają takie same wartości logiczne). Przeprowadzimy dowód dla wszystkich możliwych wartości logicznych.

Obliczymy najpierw wartości logiczne zdania \sim (p\wedge q)

pq

Wyznaczamy wartości iloczynu logicznego zdań p i q

p∧q

Negujemy wyniki z poprzedniej kolumny i otrzymujemy wynik

~(p∧q)
0001
0101
1001
1110

Obliczymy teraz wartości logiczne zdania (~p)∨(~p):

pq

Negujemy zdania p i q

~p~q

Sumujemy logicznie zaprzeczenia zdań p i q i otrzymujemy wynik

(~p)∨(~p)
00111
01101
10011
11000

Widać, że wartości logiczne w ostatnich kolumnach obu tabel są takie same, a zatem wykazaliśmy równoważność zdań ~(p∧q) oraz (~p)∨(~q).


© medianauka.pl, 2008-05-31, ART-45







Inne zagadnienia z tej lekcji

Zdanie logiczneZdanie logiczne
Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać prawdę lub fałsz
NegacjaNegacja
Negacja (zaprzeczenie) to zdanie: nieprawda, że p i oznaczamy w następujący sposób: ~p
KoniunkcjaKoniunkcja
Koniunkcja, iloczyn logiczny. Zdanie p i q nazywamy koniunkcją lub iloczynem logicznym i oznaczamy p wedge q.
AlternatywaAlternatywa
Zdanie p lub q to alternatywa lub suma logiczna.
Równoważność zdańRównoważność zdań
Równoważność zdań p i q jest to zdanie orzekające, że zdania p i q mają tę samą wartość logiczną.
II prawo de MorganaII prawo de Morgana
II prawo de Morgana - zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań logicznych jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań.



© Media Nauka 2008-2018 r.