Obliczenia procentowe

Przedstawiamy w niniejszym artykule różne rodzaje obliczeń na procentach. zachęcamy do przeprowadzenia quizu i rozwiązania naszych zadań.

Obliczanie procentu danej liczby

Aby obliczyć p% danej liczby a, wystarczy pomnożyć liczbę a przez ułamek p/100, czyli:

$p%\quad liczby\quad a,\quad to \quad \frac{p}{100}\cdot a = \frac{p\cdot a}{100}$

Przykład

33% liczby 100, to $\frac{33}{100}\cdot 100=33$

20% liczby 5, to $\frac{20}{100}\cdot 5 = \frac{1}{5}\cdot 5=1$

15% liczby 20, to $\frac{15}{100}\cdot 20 = \frac{3}{20}\cdot 20=3$

0,2% liczby 30, to $\frac{\frac{2}{10}}{100}\cdot 30 = \frac{2}{1000}\cdot 30 = \frac{60}{1000}=\frac{6}{100}=0,06$

Zadanie

Pan Kowalski włożył do banku 4000 zł na roczną lokatę 6%. Jaką kwotę po roku otrzyma z banku pan Kowalski?

Obliczamy najpierw odsetki: $\frac{6}{100}\cdot 4000=\frac{6\cdot 4000}{100}=240$
Zatem pan Kowalski po roku czasu otrzyma swój wkład oraz odsetki, a więc: 4000 zł + 240 zł = 4240 zł.

Odpowiedź: Pan Kowalski po roku czasu otrzyma z banku 4240 zł.

Zadanie

Pan Kowalski włożył do banku 4000 zł na miesięczną lokatę o oprocentowaniu 6% w skali roku. Jaką kwotę po miesiącu otrzyma z banku pan Kowalski? A jaką kwotę pan Kowalski otrzyma, po przelaniu wszystkich środków na kolejną miesięczną lokatę na tych samych warunkach?

Obliczamy najpierw odsetki w skali roku: $\frac{6}{100}\cdot 4000=\frac{6\cdot 4000}{100}=240$ , a następnie obliczamy wartość odsetek w skali miesiąca (jeden miesiąc, to 1/12 roku): $\frac{1}{12}\cdot 240=20$
Zatem pan Kowalski po roku czasu otrzyma swój wkład oraz odsetki, a więc: 4000 zł + 20 zł = 4020 zł

Kwota kapitału wynosi teraz 4020 zł, a więc powtarzamy powyższe rachunki dla tej kwoty:
Obliczamy najpierw odsetki w skali roku: $\frac{6}{100}\cdot 4020=\frac{6\cdot 4020}{100}=241,2$ , a następnie obliczamy wartość odsetek w skali miesiąca (jeden miesiąc, to 1/12 roku): $\frac{1}{12}\cdot 241,2 = 20,1$

Odpowiedź: Zatem pan Kowalski po miesiącu czasu otrzyma swój wkład oraz odsetki, a więc: 4000 zł + 20 zł = 4020 zł, natomiast po wyjęciu środków z kolejnej lokaty pan Kowalski otrzyma kwotę kapitału i odsetki 4020 zł + 20,10 zł = 4040,10 zł

Ciekawostki

Jeśli miałbyś do wyboru włożyć do banku 10 000 zł do banku na roczną lokatę o oprocentowaniu 5% w skali roku albo na 12 lokat jednomiesięcznych o oprocentowaniu 4,9 %, jaką opcję byś wybrał w celu uzyskania najlepszych zysków?

Wydawałoby się, że w obu przypadkach przechowujemy w banku pieniądze przez ten sam okres czasu, w drugim przypadku mamy mniejsze oprocentowanie, więc odsetki powinny być większe dla lokaty rocznej. Jednak w tym przypadku tak wcale nie jest! W przypadku 12 lokat miesięcznych odsetki doliczane są za każdym razem do kwoty kapitału (kwoty wyjściowej), a więc obliczamy co miesiąc odsetki od coraz to większej kwoty. W przypadku rocznej lokaty otrzymałbyś 500 zł odsetek, w przypadku 12 lokat miesięcznych ponad 501 zł. Policz sam.

Zadanie

Straganiarz sprzedawał jabłka po 5 zł za 1 kg. Ponieważ rano sprzedawał bardzo dużo towaru podniósł cenę jabłek o 5%. Jednak pod koniec dnia, kiedy było już mniej klientów, obniżył cenę jabłek o 5%. Ile kosztowały jabłka pod koniec dnia?

Po podwyżce jabłka kosztowały $5PLN + \frac{5}{100}\cdot 5PLN=5,25 PLN$ .

Po obniżce jabłka kosztowały $5,25PLN - \frac{5}{100}\cdot 5,25PLN=4,99 PLN$ .

Odpowiedź: Pod koniec dnia jabłka kosztowały 4,99 zł.

W powyższym zadaniu mamy do czynienia z ciekawym przypadkiem. Dlaczego po podwyżce ceny o 5 % i obniżce o 5% nie otrzymaliśmy ceny wyjściowej? Bo obliczaliśmy procent od różnych wartości ceny (5% z 5zł to nie to samo, co 5% z 5,25%).

Znajdowanie liczby na podstawie
danego jej procentu

Jeżeli liczba a stanowi p% liczby b, to:

$b=\frac{a\cdot 100}{p}$

Przykład

5 stanowi 10% pewnej liczby. Jaka to liczba?

Korzystamy z powyższego wzoru i otrzymujemy:

$\frac{5\cdot 100}{10}=50$

Zadanie

Pan Nowak otrzymał po roku oszczędzania 350 zł odsetek z lokaty oprocentowanej w wysokości 7% w skali roku. Jaka kwota była na lokacie?

Korzystamy z powyższego wzoru: $\frac{350\cdot 100}{7}=5000$

Odpowiedź: Pan Nowak miał na lokacie rocznej 5000 zł.

A co zrobić, gdy zapomnimy wzoru? Wówczas wystarczy pamiętać co oznacza procent, uświadomić sobie jakiej wielkości szukamy, oznaczyć ją przez x i ułożyć oraz rozwiązać równanie. Dla przykładu dla powyższego zadania można ułożyć następujące równanie: $7%\cdot x=350$ , gdzie x oznacza kwotę od jakiej obliczane są odsetki, czyli kwotę kapitału. Mamy dalej:

$\frac{7}{100}x=350 /\cdot 100\\7x=35000 /:7\\x=5000$

Obliczanie, jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba

Korzystamy z następującego wzoru:

Liczba b stanowi $(\frac{b}{a}\cdot 100)%$ liczby a

Przykład

Jaki procent liczby 40 stanowi liczba 5?

Korzystamy z powyższego wzoru i otrzymujemy:

$(\frac{5}{40}\cdot 100)%=12,5%$

Zadanie

Pan Nowak otrzymał po roku oszczędzania 200 zł odsetek od 5000 zł, jakie włożył na roczną lokatę. Jak była oprocentowana lokata?

Korzystamy z powyższego wzoru: $(\frac{200}{5000}\cdot 100)%=4%$

Odpowiedź: Oprocentowanie lokaty wynosiło 4% w skali roku.

A co zrobić, gdy zapomnimy wzoru? Wówczas wystarczy pamiętać co oznacza procent, uświadomić sobie jakiej wielkości szukamy, oznaczyć ją przez x i ułożyć oraz rozwiązać równanie. Dla przykładu dla powyższego zadania można ułożyć następujące równanie: $5000\cdot x%=200$ , gdzie x oznacza stopę oprocentowania. Mamy dalej:

$x\cdot \frac{1}{100}=\frac{200}{5000} /\cdot 100\\x=4$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Obliczenia procentowe

Zadanie - obliczanie procentu danej liczby
Oblicz:
a) 23% z 23, b) 0,1% z 0,01, c)5% z 1/5, d) 16% z 5/12, e) 7,2% z 2,7, f) 1% z 5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Populacja zająca na danym obszarze liczyła 200 osobników. W ciągu roku wzrosła o 12 %. Jaka jest liczebność populacji zająca po roku czasu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Buty kosztowały 122 zł. Sprzedawca obniżył cenę o 3%. Ile kosztowały buty po obniżce?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Jacek włożył do banku 50 zł na miesięczną odnawialną lokatę o oprocentowaniu 6% w skali roku. Ile odsetek Jacek otrzyma po 3 miesiącach?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Ania pożyczyła od koleżanki 150 zł na 3%. Ile musi oddać pieniędzy?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Po pięcioprocentowej obniżce ceny książki Jacek zapłacił za nią 24,70 zł. Ile książka kosztowała przed obniżką?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Pan Kowalski włożył pewną kwotę pieniędzy na miesięczną lokatę o oprocentowaniu w skali roku w wysokości 5%. Po miesiącu otrzymał 50 zł odsetek. Jaką kwotą dysponował pan Kowalski?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe
2,5 stanowi 2% pewnej liczby. Jaka to liczba?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia peocentowe
Jaki procent liczby 20 stanowi liczba 25?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Książka, która początkowo kosztowała 40 zł po rabacie kosztowała 35zł. O ile procent obniżono cenę książki?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczenia procentowe - zadanie z treścią
Jaka była frekwencja wyborcza, jeśli na 150 tysięcy uprawnionych zagłosowało 85 tysięcy mieszkańców miasta?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - procenty, zadanie z treścią
Właściciel budynku o powierzchni netto 4000 m² chce sprzedać udziały w nieruchomości, a mianowicie pomieszczenia biurowe o łącznej powierzchni 2800 m², przy czym powierzchnia wspólna (powierzchnia ruchu i pomocnicza) wynosi łącznie 450 m² (powierzchni tej nie wlicza się do powierzchni biurowej). Jaki udział w nieruchomości dla kupującego udziały należy wpisać w akt notarialny? Jaką powierzchnię netto sprzedaje właściciel budynku?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że:

A. c=1,5a
B. c=1,6a
C. c=0,8a
D. c=0,16a

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2015 (poziom podstawowy)
Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:

A. $1000\cdot (1-\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100})$
B. $1000\cdot (1+\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100})$
C. $1000\cdot (1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100})$
D. $1000\cdot (1-\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100})$