Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa to jedno z najwcześniejszych i najważniejszych twierdzeń geometrii płaszczyzny. Powstało około V w. p.n.e.

Twierdzenie Talesa

Jeżeli dwie proste \(a_1\) i \(a_2\) przecinające się w punkcie \(O\) zostaną przecięte dwiema prostymi \(k\) i \(l\), które nie przechodzą przez punkt \(O\) i są równoległe, to odcinki wyznaczone przez punkt \(O\) i proste \(k\) i \(l\) na prostej \(a_1\) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez punkt \(O\) i proste \(k\) i \(l\) na prostej \(a_2\).

\(\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{|OA'|}{|OB'|}\)

twierdzenie Talesa

twierdzenie Talesa - rysunek 2

Proporcje wynikające z twierdzenia Talesa

Z twierdzenia Talesa wynikają następujące proporcje:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli dwie proste \(a_1\) i \(a_2\) przecinające się w punkcie \(O\) zostaną przecięte dwiema prostymi \(k\) i \(l\), które nie przechodzą przez punkt \(O\) i odcinki wyznaczone przez punkt \(O\) i proste \(k\) i \(l\) na prostej \(a_1\) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez punkt \(O\) i proste \(k\) i \(l\) na prostej \(a_2\) i jeśli punkt \(O\) leży na obu odcinkach \(\overline{AB}, \ \overline{A'B'}\) albo nie leży na żadnym z nich, to proste \(k\) i \(l\) są równoległe.

Rozszerzone twierdzenie Talesa

Rzutując punkty podziału odcinków \(\overline{OA}, \overline{OB}\) w kierunku prostej \(a_2\), zauważamy, że z równoległości prostych \(k\), \(l\) wynika proporcja: \(|OA|:|OB|=|AA'|:|BB'|\).

Wnioski z twierdzenia Talesa

Twierdzenie 1

Prosta równoległa do jednego boku trójkąta i przecinająca pozostałe boki tego trójkąta odcina z tego trójkąta trójkąt o bokach proporcjonalnych do boków danego trójkąta.

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)

twierdzenie Talesa

Twierdzenie 2

W trójkącie dwusieczna kąta wewnętrznego dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków przyległych.

\(\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{AC}\)

Twierdzenie o dwusiecznej kąta

Tales z Miletu

Tales z Miletu
© Archivist — stock.adobe.com

Twierdzenie tutaj prezentowane sformułował prawdopodobnie Tales z Miletu, który żył w latach około 620-540 p.n.e. Tales był greckim filozofem, astronomem i matematykiem, twórcą jońskiej filozofii przyrody, w której woda była uważana za prapierwiastek rzeczywistości.

Niektórzy historycy wątpią co do tego, czy istniał w rzeczywistości i był autorem wszystkich głoszonych idei, czy też temu imieniu przyporządkowano osiągnięcia całej grupy uczonych starożytnej Grecji.

Zastosowania twierdzenia Talesa

Twierdzenie Talesa wykorzystywano już w starożytności do rozwiązania konkretnych problemów praktycznych, w tym obliczania odległości statków od brzegu i wysokości dużych obiektów.

Jak zmierzyć wysokość piramidy?

W prosty sposób można zmierzyć wysokości piramidy egipskiej na podstawie jej cienia. Metoda przedstawiona w przykładzie może być stosowana do mierzenia wysokości dowolnych obiektów, w tym: budynków, drzew itp.

Cień wbitej pionowo tyczki o znanej wysokości i piramidy powinny się pokrywać. Mierząc długość cieni, poznamy wysokość piramidy.

jak zmierzyć wysokość piramidy?

Na podstawie wniosku z twierdzenia Talesa (nie samego twierdzenia) można zapisać, że:

\(\frac{H}{C}=\frac{h}{c}\)

\(H=h\frac{C}{c}\)

Podział odcinka

Korzystając z twierdzenia Talesa, możemy dokonać proporcjonalnego podziału odcinka, co zostało omówione w odrębnym artykule.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Podstawy trapezu mają długości 5 i 9, a ramiona 5 i \(\sqrt{41}\). Obliczyć obwód trójkąta utworzonego z podstawy trapezu i przedłużenia ramion tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Prosta równoległa do boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) oraz bok \(BC\) w punkcie \(E\). Obliczyć:

a) \(|AC|\), jeżeli \(|CD|=32, |CE|=24,|BC|=48\)>

b) \(|CD|\), jeżeli \(|CE|=6, |BE|=10, |AC|=24\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Odcinek o długości \(a\) podzielić na dwa odcinki w stosunku \(\frac{3}{5}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Dane są odcinki o długościach: \(a, b, c\). Opisać sposób konstrukcji odcinka \(d\) o długości:

a) \(d=\frac{ab}{c}\)

b) \(d=\frac{b^2}{a}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\), a punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do prostej \(AC\) w punkcie \(M\). Punkt \(K\) leży na boku \(AC\), punkt \(L\) leży na boku \(BC\), odcinek \(KL\) jest styczny do rozważanego okręgu oraz \(|KC|=|LC|=2\) (zobacz rysunek).

Rysunek

Wykaż, że \(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-12-04, A-1038
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-09



©® Media Nauka 2008-2023 r.