Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 579 - pole koła, pole kwadratu, kwadrat wpisany w koło


W koło o promieniu r wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

r^2+r^2=a^2\\ a^2=2r^2\\ P_{kw}=2r^2\\ P=P_k-P_{kw}=(\pi -2)r^2

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Rysunek pomocniczy

Kwadrat jest wielokątem foremnym, środek okręgu opisanego i wpisanego w kwadrat leży na przecięciu przekątnych kwadratu. Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej. Bok kwadratu oznaczamy przez a. Zakreskowano szukane pole, które obliczymy odejmując od pola koła pole kwadratu.

Obliczamy pole koła:

P_k=\pi r^2

Aby obliczyć pole kwadratu, musimy znać długość jego boku. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla zaznaczonego na rysunku trójkąta:

r^2+r^2=a^2\\ a^2=2r^2\\ a=r\sqrt{2}

Obliczamy pole kwadratu:

P_{kw}=a^2\\ P_{kw}=(r\sqrt{2})^2=2r^2

Obliczamy pole zakreskowanej figury:

P=P_k-P_{kw}=\pi r^2-2r^2=(\pi -2)r^2

ksiązki Odpowiedź

(\pi -2)r^2

© Media Nauka, 2011-01-16


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy