Zadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\).
Rozwiązanie zadania
Określamy na wstępie dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.
Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość \(x-4\) oraz cały logarytm o podstawie 2. Mamy więc dwa następujące warunki:
\(\begin{cases} x-4^>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases}\)
Jak znaleźć rozwiązanie drugiego warunku? Możemy rozwiązywać nierówność logarytmiczną albo odczytać rozwiązanie bezpośrednio z wykresu. Kiedy narysujemy wykres funkcji \(y=log_2(x-4)\), to bez problemu odczytamy dla jakich \(x\) wartości tej funkcji są dodatnie (leżą nad osią \(OX\)). Ponieważ z tej metody korzystaliśmy w innym zadaniu, tutaj rozwiążemy nierówność logarytmiczną.
\(\log_{2}{(x-4)}>0\)
\(\log_{2}{(x-4)}>\log_{2}{1}\)
\(x-4>1\)
Kilka słów wyjaśnień do powyższych rachunków. Wyraziliśmy liczbę 0 jako logarytm \(0=\log_{2}{1}\), bo \(2^0=1\). W drugim kroku korzystamy z własności funkcji logarytmicznej. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od jedności, funkcja logarytmiczna jest rosnąca i możemy zapisać, że:
Kontynuujemy wyznaczanie dziedziny równania logarytmicznego. Mamy następujący układ nierówności:
\(\begin{cases} x-4^>0\\\log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x-4>1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x>5 \end{cases}\)
Znaleźliśmy dziedzinę równania logarytmicznego:
\(x\in (5;+\infty)\)
Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.
Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zastosujemy podstawienie.
\(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\)
\(t=\log_{2}{(x-4)}\)
\(log_{4}{t}=2\)
Wystarczy teraz skorzystać z definicji logarytmu. Dla \(a,b\in \mathbb{R}_+\) i \(a\neq 1\):
Mamy więc:
\(\log_{4}{t}=2 \Leftrightarrow 4^2=t\)
\(t=16\)
Możemy dalej rozwiązywać równanie ze względu na zmienną \(x\):
\(t=16\)
\(\log_{2}{(x-4)}=16\)
\(2^{16}=x-4\)
\(x=2^{16}+4\)
\(x=65540\)
Liczba \(65540\) należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Jest to więc rozwiązanie równania \(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-12, ZAD-429
Zadania podobne
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2\).
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\).