Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 440 - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego


Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech \lim_{n\to\infty}{x_n}=5, \ x_n\neq 5, \ x_n\neq -1
\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=\lim_{n\to\infty}{(x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1})}=5+\frac{5-1}{5+1}=5\frac{2}{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Funkcja jest określona w sąsiedztwie punktu 5, za wyjątkiem punktu -1. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów funkcji, zbieżny do 5 o wyrazach różnych od -1 i 5.

Zatem niech:

\lim_{n\to\infty}{x_n}=5, \ x_n\neq 5, \ x_n\neq -1

Teraz tworzymy ciąg wartości funkcji, podstawiając wyraz ogólny ciąg argumentów do badanej funkcji.

f(x_n)=x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1}

Teraz skorzystamy z definicji Heinego.

Granica funkcji będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:

\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=\lim_{n\to\infty}{(x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1})}=\\ =\lim_{n\to\infty}{x_n}+\frac{\lim_{n\to\infty}{x_n}-1}{\lim_{n\to\infty}{x_n}+1}=5+\frac{5-1}{5+1}=5\frac{2}{3} tło tło

Zwróć uwagę na fragment obliczeń zaznaczony żółtym kolorem. To miejsce, w którym często popełnia się błędy. Na początku mamy obliczyć granicę funkcji zmiennej x w punkcie 5 (x dąży do 5), ale po skorzystaniu z definicji Heinego obliczamy już granicę ciągu, a tutaj n dąży do nieskończoności, a zamiast zmiennej x mamy wyraz ciągu xn.

Otrzymaliśmy zatem odpowiedź:

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=5\frac{2}{3}

© Media Nauka, 2010-05-05


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy