Logo Media Nauka

Facebook

Miara kąta

Definicja Definicja

Każdemu kątowi przypisujemy pewną liczbę, zwaną miarą kąta, która spełnia następujące warunki:

  • kąt zerowy ma miarę 0,
  • kąt niezerowy ma miarę dodatnią,
  • miara sumy kątów równa jest sumie miar kątów,
  • miara kąta prostego jest dowolną, z góry ustaloną liczbą.
suma kątów

W definicji miary kąta jest mowa o sumie kątów. Jeżeli dwa kąty mają wspólne ramię i wierzchołek, ale ich wnętrza są rozłączne, to można utworzyć kąt, który nazwiemy sumą kątów, a którego obszarem jest suma obszarów danych kątów i którego wierzchołek jest wspólny tych kątów. Sumą tych kątów będziemy także nazywać każdy kąt przystający do nich. Jeżeli dwa kąty nie mają wspólnego wierzchołka i ramienia, to wówczas sumę tych kątów tworzymy tak, że przy jednym z ramion kąta odkładamy kąt przystający do drugiego kąta.

Miara stopniowa

Teoria Najczęściej posługujemy się miarą stopniową kąta. W mierze stopniowej kątowi prostemu przypisujemy liczbę 90, a kąt, którego miara jest równa 1 nazywamy stopniem i oznaczamy następująco: 1°.

Jeżeli dany jest kąt \angle{ABC} , to jego miarę oznaczamy następująco: |\angle{ABC}|. Jeżeli dany jest kąt \angle{}\alpha , to jego miarę oznaczamy następująco: α

Kątmiara
zerowy
jednostkowy
prosty90°
półpełny180°
pełny360°

Kąt ostry jest to kąt o mierze stopniowej mniejszej niż 90°.

Kąt rozwarty jest to kąt o mierze stopniowej większej niż 90° i mniejszej niż 180°.

Jeden stopień miary stopniowej kąta dzieli się na 60 minut (oznaczenie: 60'), a każda minuta dzieli się na 60 sekund (oznaczenie: 60 '').

Posługujemy się także inną - miarą łukową kąta.

Miara łukowa kąta

Teoria Dany jest dowolny kąt nieskierowany na płaszczyźnie oraz okrąg o promieniu r i środku w wierzchołku tego kąta. Częścią wspólną tego okręgu i obszaru kąta jest łuk l.

Definicja Definicja

Łukowa miara kąta = \frac{l}{r}

Nie ma znaczenia, jaki promień zatoczymy z wierzchołka kąta. Miara łukowa dla danego kąta jest zawsze taka sama.

miara łukowa kąta

Dla kąta przedstawionego na rysunku mamy więc:

\frac{l}{r}=\frac{L}{R}

Radian

radian

Definicja Definicja

Radian jest to kąt, którego miara łukowa jest równa 1.

Zatem inaczej mówiąc radian jest to kąt, w którym długość łuku jest równa długości promienia.

Jeden radian oznaczamy czasem symbolem rad, jednak możemy ten zapis pomijać, gdyż wymiar miary łukowej kąta to cm/cm.

Twierdzenie Twierdzenie

Kąt pełny ma miarę łukową 2\pi.

2\pi\ rad=360^o
1\ rad=\frac{360^o}{2\pi}=57^o17'45''

Poniżej przedstawiamy sposób, w jaki obliczamy miarę łukową dowolnego kąta.

  • Kąt pełny ma miarę łukową równą 2\pi.
  • Miara łukowa kąta jest proporcjonalna do kąta.

Przykład Przykład

Dany jest kąt 45°. Wyznaczymy jego miarę łukową:

Układamy proporcję:

360^o\ - \ 2\pi\\45^o - x

360^o\cdot x = 2\pi\cdot 45^o/:360^o\\ x=\frac{2\cdot 45^o}{360^o}\pi\\ x=\frac{90^o}{360^o}\pi\\ x=\frac{1}{4}\pi\\ x=\frac{\pi}{4}

Przykład Przykład

Dany jest kąt \frac{\pi}{3}. Wyznaczymy jego miarę stopniową:

Układamy proporcję:

360^o\ - \ 2\pi\\x - \frac{\pi}{3}

360^o\cdot \frac{\pi}{3}=2\pi\cdot x/:2\pi\\ \frac{360^o \cdot \pi}{3\cdot 2\pi}\\ x= \frac{180^o}{3}\\ x=60^o

Poniższa tabela zawiera miary najczęściej spotykanych kątów:

Miara stopniowaMiara łukowa
360o2\pi
270o\frac{3}{2}\pi
180o\pi
90o\frac{\pi}{2}
60o\frac{\pi}{3}
45o\frac{\pi}{4}
30o\frac{\pi}{6}
1o\frac{\pi}{180}
1'\frac{\pi}{180\cdot 60}
1''\frac{\pi}{180\cdot 60\cdot 60}

Kalkulator naukowy Kalkulator
Przeliczanie miar kątów


Wpisz dane:

rad

miejsc po przecinku


Rozwiązanie:

Korzystamy z następującej zależności:
equation

Po przekształceniu otrzymujemy wzór:
equation

i korzystając z niego obliczamy:
equation
Korzystamy z następującej zależności:
equation

Po przekształceniu otrzymujemy wzór: equation i korzystając z niego obliczamy: equation.


Objaśnienia:
  • Miara kąta w radianach może być liczbą rzeczywistą lub wyrażeniem zawierającym podstawowe operatory matematyczne +, -, *, / oraz stałą PI.
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Oprogramowanie: Natalia Okoń

© medianauka.pl, 2010-11-11, ART-1012


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Miara kąta

zadanie-ikonka Zadanie - miara łukowa kąta
Dany jest kąt 85o57'36''. Znaleźć jego miarę łukową.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - miara stopniowa kąta
Wyrazić w stopniach, minutach i sekundach kąt 23,255o.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - miara łukowa kąta
Dany jest kąt \frac{\pi}{8}\ rad. Znaleźć jego miarę stopniową. Wynik wyrazić w stopniach i minutach.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

KątKąt
Definicja kąta oraz opis różnych rodzajów kąta, w tym: kąta wypukłego, wklęsłego, środkowego, wpisanego w okrąg, kątów przyległych i wierzchołkowych.
Kąt skierowanyKąt skierowany
Kąt nieskierowany jest to zbiór utworzony z dwóch różnych półprostych o wspólnym początku i jednej z figur, wyciętych z płaszczyzny przez te dwie półproste.







Polecamy w naszym sklepie

Kalkulatory maukowe
Kubek matematyka pi
Kolorowe skarpetki 3D
kolorowe skarpetki matematyka
Rodzinna matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.