Logo Media Nauka

Miara kąta

Definicja Definicja

Każdemu kątowi przypisujemy pewną liczbę, zwaną miarą kąta, która spełnia następujące warunki:

  • kąt zerowy ma miarę 0,
  • kąt niezerowy ma miarę dodatnią,
  • miara sumy kątów równa jest sumie miar kątów,
  • miara kąta prostego jest dowolną, z góry ustaloną liczbą.
suma kątów

W definicji miary kąta jest mowa o sumie kątów. Jeżeli dwa kąty mają wspólne ramię i wierzchołek, ale ich wnętrza są rozłączne, to można utworzyć kąt, który nazwiemy sumą kątów, a którego obszarem jest suma obszarów danych kątów i którego wierzchołek jest wspólny tych kątów. Sumą tych kątów będziemy także nazywać każdy kąt przystający do nich. Jeżeli dwa kąty nie mają wspólnego wierzchołka i ramienia, to wówczas sumę tych kątów tworzymy tak, że przy jednym z ramion kąta odkładamy kąt przystający do drugiego kąta.

Miara stopniowa

Teoria Najczęściej posługujemy się miarą stopniową kąta. W mierze stopniowej kątowi prostemu przypisujemy liczbę 90, a kąt, którego miara jest równa 1 nazywamy stopniem i oznaczamy następująco: 1°.

Jeżeli dany jest kąt \angle{ABC} , to jego miarę oznaczamy następująco: |\angle{ABC}|. Jeżeli dany jest kąt \angle{}\alpha , to jego miarę oznaczamy następująco: α

Kątmiara
zerowy
jednostkowy
prosty90°
półpełny180°
pełny360°

Kąt ostry jest to kąt o mierze stopniowej mniejszej niż 90°.

Kąt rozwarty jest to kąt o mierze stopniowej większej niż 90° i mniejszej niż 180°.

Jeden stopień miary stopniowej kąta dzieli się na 60 minut (oznaczenie: 60'), a każda minuta dzieli się na 60 sekund (oznaczenie: 60 '').

Posługujemy się także inną - miarą łukową kąta.

Miara łukowa kąta

Teoria Dany jest dowolny kąt nieskierowany na płaszczyźnie oraz okrąg o promieniu r i środku w wierzchołku tego kąta. Częścią wspólną tego okręgu i obszaru kąta jest łuk l.

Definicja Definicja

Łukowa miara kąta = \frac{l}{r}

Nie ma znaczenia, jaki promień zatoczymy z wierzchołka kąta. Miara łukowa dla danego kąta jest zawsze taka sama.

miara łukowa kąta

Dla kąta przedstawionego na rysunku mamy więc:

\frac{l}{r}=\frac{L}{R}

Radian

radian

Definicja Definicja

Radian jest to kąt, którego miara łukowa jest równa 1.

Zatem inaczej mówiąc radian jest to kąt, w którym długość łuku jest równa długości promienia.

Jeden radian oznaczamy czasem symbolem rad, jednak możemy ten zapis pomijać, gdyż wymiar miary łukowej kąta to cm/cm.

Twierdzenie Twierdzenie

Kąt pełny ma miarę łukową 2\pi.

2\pi\ rad=360^o
1\ rad=\frac{360^o}{2\pi}=57^o17'45''

Poniżej przedstawiamy sposób, w jaki obliczamy miarę łukową dowolnego kąta.

  • Kąt pełny ma miarę łukową równą 2\pi.
  • Miara łukowa kąta jest proporcjonalna do kąta.

Przykład Przykład

Dany jest kąt 45°. Wyznaczymy jego miarę łukową:

Układamy proporcję:

360^o\ - \ 2\pi\\45^o - x

360^o\cdot x = 2\pi\cdot 45^o/:360^o\\ x=\frac{2\cdot 45^o}{360^o}\pi\\ x=\frac{90^o}{360^o}\pi\\ x=\frac{1}{4}\pi\\ x=\frac{\pi}{4}

Przykład Przykład

Dany jest kąt \frac{\pi}{3}. Wyznaczymy jego miarę stopniową:

Układamy proporcję:

360^o\ - \ 2\pi\\x - \frac{\pi}{3}

360^o\cdot \frac{\pi}{3}=2\pi\cdot x/:2\pi\\ \frac{360^o \cdot \pi}{3\cdot 2\pi}\\ x= \frac{180^o}{3}\\ x=60^o

Poniższa tabela zawiera miary najczęściej spotykanych kątów:

Miara stopniowaMiara łukowa
360o2\pi
270o\frac{3}{2}\pi
180o\pi
90o\frac{\pi}{2}
60o\frac{\pi}{3}
45o\frac{\pi}{4}
30o\frac{\pi}{6}
1o\frac{\pi}{180}
1'\frac{\pi}{180\cdot 60}
1''\frac{\pi}{180\cdot 60\cdot 60}

© medianauka.pl, 2010-11-11, ART-1012





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Miara kąta

zadanie-ikonka Zadanie - miara łukowa kąta
Dany jest kąt 85o57'36''. Znaleźć jego miarę łukową.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - miara stopniowa kąta
Wyrazić w stopniach, minutach i sekundach kąt 23,255o.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - miara łukowa kąta
Dany jest kąt \frac{\pi}{8}\ rad. Znaleźć jego miarę stopniową. Wynik wyrazić w stopniach i minutach.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

KątKąt
Definicja kąta oraz opis różnych rodzajów kąta, w tym: kąta wypukłego, wklęsłego, środkowego, wpisanego w okrąg, kątów przyległych i wierzchołkowych.
Kąt skierowanyKąt skierowany
Kąt nieskierowany jest to zbiór utworzony z dwóch różnych półprostych o wspólnym początku i jednej z figur, wyciętych z płaszczyzny przez te dwie półproste.



© Media Nauka 2008-2018 r.