Miara kąta
Definicja
Każdemu kątowi przypisujemy pewną liczbę, zwaną miarą kąta, która spełnia następujące warunki:
- kąt zerowy ma miarę 0,
- kąt niezerowy ma miarę dodatnią,
- miara sumy kątów równa jest sumie miar kątów,
- miara kąta prostego jest dowolną, z góry ustaloną liczbą.

W definicji miary kąta jest mowa o sumie kątów. Jeżeli dwa kąty mają wspólne ramię i wierzchołek, ale ich wnętrza są rozłączne, to można utworzyć kąt, który nazwiemy sumą kątów, a którego obszarem jest suma obszarów danych kątów i którego wierzchołek jest wspólny tych kątów. Sumą tych kątów będziemy także nazywać każdy kąt przystający do nich. Jeżeli dwa kąty nie mają wspólnego wierzchołka i ramienia, to wówczas sumę tych kątów tworzymy tak, że przy jednym z ramion kąta odkładamy kąt przystający do drugiego kąta.
Miara stopniowa
Najczęściej posługujemy się miarą stopniową kąta. W mierze stopniowej kątowi prostemu przypisujemy liczbę 90, a kąt, którego miara jest równa 1 nazywamy stopniem i oznaczamy następująco: 1°.
Jeżeli dany jest kąt
, to jego miarę oznaczamy następująco:
.
Jeżeli dany jest kąt
, to jego miarę oznaczamy następująco: α
Kąt | miara |
---|---|
zerowy | 0° |
jednostkowy | 1° |
prosty | 90° |
półpełny | 180° |
pełny | 360° |
Kąt ostry jest to kąt o mierze stopniowej mniejszej niż 90°.
Kąt rozwarty jest to kąt o mierze stopniowej większej niż 90° i mniejszej niż 180°.
Jeden stopień miary stopniowej kąta dzieli się na 60 minut (oznaczenie: 60'), a każda minuta dzieli się na 60 sekund (oznaczenie: 60 '').
Posługujemy się także inną - miarą łukową kąta.
Miara łukowa kąta
Dany jest dowolny kąt nieskierowany na płaszczyźnie oraz okrąg o promieniu r i środku w wierzchołku tego kąta. Częścią wspólną tego okręgu i obszaru kąta jest łuk l.
Definicja

Nie ma znaczenia, jaki promień zatoczymy z wierzchołka kąta. Miara łukowa dla danego kąta jest zawsze taka sama.

Dla kąta przedstawionego na rysunku mamy więc:

Radian

Definicja
Radian jest to kąt, którego miara łukowa jest równa 1.
Zatem inaczej mówiąc radian jest to kąt, w którym długość łuku jest równa długości promienia.
Jeden radian oznaczamy czasem symbolem rad, jednak możemy ten zapis pomijać, gdyż wymiar miary łukowej kąta to cm/cm.
Twierdzenie
Kąt pełny ma miarę łukową .


Poniżej przedstawiamy sposób, w jaki obliczamy miarę łukową dowolnego kąta.
- Kąt pełny ma miarę łukową równą
.
- Miara łukowa kąta jest proporcjonalna do kąta.
Przykład
Dany jest kąt 45°. Wyznaczymy jego miarę łukową:
Układamy proporcję:
Przykład
Dany jest kąt . Wyznaczymy jego miarę stopniową:
Układamy proporcję:
Poniższa tabela zawiera miary najczęściej spotykanych kątów:
Miara stopniowa | Miara łukowa |
---|---|
360o | ![]() |
270o | ![]() |
180o | ![]() |
90o | ![]() |
60o | ![]() |
45o | ![]() |
30o | ![]() |
1o | ![]() |
1' | ![]() |
1'' | ![]() |
Przeliczanie miar kątów
Wpisz dane:
rad
Po przekształceniu otrzymujemy wzór:
i korzystając z niego obliczamy:
Po przekształceniu otrzymujemy wzór:
- Miara kąta w radianach może być liczbą rzeczywistą lub wyrażeniem zawierającym podstawowe operatory matematyczne +, -, *, / oraz stałą PI.
- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dany jest kąt 85o57'36''. Znaleźć jego miarę łukową.Zadanie nr 2.
Wyrazić w stopniach, minutach i sekundach kąt 23,255o.Zadanie nr 3.
Dany jest kąt
Inne zagadnienia z tej lekcji
Kąt

Definicja kąta oraz opis różnych rodzajów kąta, w tym: kąta wypukłego, wklęsłego, środkowego, wpisanego w okrąg, kątów przyległych i wierzchołkowych.
Kąt skierowany

Kąt nieskierowany jest to zbiór utworzony z dwóch różnych półprostych o wspólnym początku i jednej z figur, wyciętych z płaszczyzny przez te dwie półproste.
© medianauka.pl, 2010-11-11, A-1012