Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 572 - geometria analityczna


Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek.

Obwód trójkąta - zadanie

Mamy dwa trójkąty prostokątne, których obwody należy obliczyć. Podział promienia w stosunku 1/2 oznacza, że jeżeli promień ma długość 6, to punkt A dzieli go na dwie części, jedna o długości 2, druga o długości 6-2=4. Mamy następujące dane.

|ON|=r=6\\ |OA|=4\\ |AN|=2\\ |AM|=10\\ h=?\\ x=?\\ y=?

Gdy poznamy długość odcinka h, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy pozostałe niewiadome. Aby wyznaczyć h, korzystamy z twierdzenia, które mówi że odcinek prostopadłej opuszczonej z dowolnego punktu okręgu na średnicę jest średnią geometryczną odcinków, na które ta prostopadła dzieli średnicę.

h=\sqrt{x_sy_s}

Mamy więc:

h=\sqrt{|AM|\cdot |AN|}=\sqrt{2\cdot 10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

Do wyznaczenia x oraz y skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Wyznaczamy y:

y^2=|AM|^2+h^2\\ y^2=10^2+(2\sqrt{5})^2\\ y^2=100+20\\ y^2=120\\ y=\sqrt{120}\\ y=2\sqrt{30}

Wyznaczamy x:

x^2=|AN|^2+h^2\\ x^2=2^2+(2\sqrt{5})^2\\ x^2=4+20\\ x^2=24\\ x=\sqrt{24}\\ x=2\sqrt{6}

Możemy teraz wyznaczyć obwody obu trójkątów:

L_{MAB}=|MA|+y+h=10+2\sqrt{30}+2\sqrt{5}\\ L_{NAB}=|NA|+y+h=2+2\sqrt{6}+2\sqrt{5}

ksiązki Odpowiedź

L_{MAB}=10+2\sqrt{30}+2\sqrt{5}\\ L_{NAB}=2+2\sqrt{6}+2\sqrt{5}

© medianauka.pl, 2011-01-15, ZAD-1101


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.