Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 223 - równanie kwadratowe z parametrem


Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby nasze równanie było równaniem kwadratowym, współczynnik przy x2 musi być różny od zera.

tło

Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

(a+3)x^2-(a+1)x+1=0 \\ a_1=a+3\\ b_1=-(a+1) \\c_1=1 \\ \Delta=b_1^2-4a_1c_1=[-(a+1)]^2-4(a+3)\cdot 1=\\ =(a+1)^2-4(a+3)=a^2+2a+1-4a-12=\\ =a^2-2a-11

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

1) Jeżeli ∆>0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

\Delta>0\\ a^2-2a-11>0

Rozwiązujemy nierówność kwadratową:

\Delta_a=(-2)^2+4\cdot 11\cdot 1=48 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\\ a_1=\frac{2-4\sqrt{3}}{2}=1-2\sqrt{3}\appr -2,5 \\ a_2=\frac{2+4\sqrt{3}}{2}=1+2\sqrt{3}\appr 4,5

Ramiona paraboli a2-2a-11 są skierowane do góry, funkcja ma dwa miejsca zerowe, interesują nas wartości dodatnie. Pamiętając o dziedzinie równania (jeżeli a jest równe -3, równanie staje się równaniem liniowym i nie może mieć dwóch rozwiązań), odczytujemy rozwiązanie z wykresu (zakreskowany niebieski obszar):

Rysunek pomocniczy
a\in(-\infty;-3)\cup (-3; 1-2\sqrt{3})\cup (1+2\sqrt{3};+\infty)

2) Jeżeli ∆=0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie. Odczytujemy je z powyższego rysunku (punkty na osi liczbowej)

\Delta=0\\ a_1=1-2\sqrt{3} \\ a_2=1+2\sqrt{3} \\ a_3=-3

Ten ostatni pierwiastek wynika z tego, że gdy a=-3 mamy równanie liniowe, które ma jedno rozwiązanie

3) Jeżeli ∆<0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie odczytujemy z powyższego wykresu (zakreskowany czerwony obszar).

a\in (1-2\sqrt{3};1+2\sqrt{3})

ksiązki Odpowiedź

Równanie (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 ma dwa rozwiązania dla a\in(-\infty;-3)\cup (-3; 1-2\sqrt{3})\cup (1+2\sqrt{3};+\infty), jedno rozwiązanie dla a=-3, \ a=1-2\sqrt{3}, \ a=1+2sqrt{3} i zero rozwiązań dla a\in (1-2\sqrt{3};1+2\sqrt{3})

© Media Nauka, 2010-02-13


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy