Granica lewostronna i prawostronna funkcji

Definicja

Niech \(f(x)\) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale \((a;x_0)\). Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę lewostronną \(g\) (używamy zapisu \(\displaystyle\lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}=g\)), jeżeli dla każdego ciągu argumentów \((x_n)\) o wyrazach należących do przedziału \((a;x_0)\) zbieżnego do \(x_0\), ciąg wartości \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).

Definicja

Niech \(f(x)\) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale \((x_0;a)\). Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę prawostronną \(g\) (używamy zapisu \(\displaystyle\lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}=g\)), jeżeli dla każdego ciągu argumentów \((x_n)\) o wyrazach należących do przedziału \((x_0;a)\) zbieżnego do \(x_0\), ciąg wartości \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).

Twierdzenie

Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie \(x_0\) i granice te są równe.

Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną:

granica lewostronna i prawostronna

\(\displaystyle\lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}=g_2\)

\({\displaystyle\lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}=g_1}\)

Funkcja przedstawiona na rysunku ma różną granicą lewostronną i prawostronną, więc w punkcie \(x_0\) nie posiada granicy.

Przykład

Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\) w punkcie równym 0.

1) Obliczamy granicę lewostronną:

\(\displaystyle\lim_{x\to{0-}}{\frac{1}{x}}=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\)

2) Obliczamy granicę prawostronną:

\(\displaystyle\lim_{x\to{0+}}{\frac{1}{x}}=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\)

Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis \(0^-\) w nawiasie kwadratowym oznacza, że \((x)\) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis \(0^+\) w nawiasie kwadratowym oznacza, że \((x)\) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości.

Taki zapis ułatwia rachunek granic.

Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji \((x_n)\) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału \((0;a)\), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji \(\lim_{x\to{0+}}{\frac{1}{x}}= \lim_{n\to{\infty}}{\frac{1}{x_n}}\).

Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe rozumowanie.