zadanie

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Etap I

W pierwszej kolejności zbadamy kiedy funkcja f(x) ma dwa pierwiastki. Wiemy, że trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni. Mamy więc:

\Delta>0\\b^2-4ac>0 \\ [2(m+1)]^2-4(6m+1)>0\\ 4(m^2+2m+1)-24m-4>0\\ 4m^2+8m+4-24m-4>0\\ 4m^2-16m>0\\m^2-4m>0\\m(m-4)>0

Rozwiązanie nierówności odczytujemy z wykresu.

ilustracja
x\in (-\infty;0)\cup (4+\infty)

Etap II

Teraz zbadamy kiedy funkcja f(x) ma dwa pierwiastki tego samego znaku. Jeżeli pierwiastki mają być tego samego znaku, to ich iloczyn jest zawsze dodatni. Skorzystamy więc ze wzorów Viette'a.

x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}>0 \\ \frac{6m+1}{1}>0\\ 6m+1>0\\ m>-\frac{1}{6}\\ x\in (-\frac{1}{6}; +\infty)

Etap III

Teraz zbadamy warunek |x1-x2|<3.

|x_1-x_2|<3\\ |\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\\ |\frac{-b-\sqrt{\Delta}+b-\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\\ |\frac{-2\sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1}|<3\\ |-\sqrt{\Delta}|<3\\ \sqrt{\Delta}<3 \\ 0<\Delta <9 \\ 0<4m^2-16m<9 \\ \begin{cases} 4m^2-16m>0\\ 4m^2-16m<9 \end{cases}

Pierwszą z tych nierówności już rozwiązaliśmy na etapie I. Zajmiemy się teraz drugą:

4m^2-16m<9\\ 4m^2-16m-0<0\\ \Delta_m=16^2-4\cdot 4\cdot (-9)=400\\ m_1=\frac{16-20}{8}=-\frac{1}{2}\\ m_1=\frac{16+20}{8}=\frac{9}{2}\\ x\in(-\frac{1}{2};\frac{9}{2})

Uwzględniamy teraz część wspólną wszystkich przedziałów otrzymanych na I, II i III etapie rozwiązania:


ksiązki Odpowiedź

x\in \lbrace (-\infty;0)\cup (4+\infty)\rbrace \cap (-\frac{1}{6}; +\infty)\cap (-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\\ x\in (-\frac{1}{6};0)\cup (4;\frac{9}{2})

© CKE, 2016-11-11

Zadania podobne

kulkaZadanie 59 - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

kulkaZadanie 155 - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

kulkaZadanie 221 - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

kulkaZadanie 222 - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

kulkaZadanie 223 - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

kulkaZadanie 224 - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

kulkaZadanie 225 - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.