Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Etap I

W pierwszej kolejności zbadamy kiedy funkcja f(x) ma dwa pierwiastki. Wiemy, że trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni. Mamy więc:

\Delta>0\\b^2-4ac>0 \\ [2(m+1)]^2-4(6m+1)>0\\ 4(m^2+2m+1)-24m-4>0\\ 4m^2+8m+4-24m-4>0\\ 4m^2-16m>0\\m^2-4m>0\\m(m-4)>0

Rozwiązanie nierówności odczytujemy z wykresu.

ilustracja
x\in (-\infty;0)\cup (4+\infty)

Etap II

Teraz zbadamy kiedy funkcja f(x) ma dwa pierwiastki tego samego znaku. Jeżeli pierwiastki mają być tego samego znaku, to ich iloczyn jest zawsze dodatni. Skorzystamy więc ze wzorów Viette'a.

x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}>0 \\ \frac{6m+1}{1}>0\\ 6m+1>0\\ m>-\frac{1}{6}\\ x\in (-\frac{1}{6}; +\infty)

Etap III

Teraz zbadamy warunek |x1-x2|<3.

|x_1-x_2|<3\\ |\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\\ |\frac{-b-\sqrt{\Delta}+b-\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\\ |\frac{-2\sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1}|<3\\ |-\sqrt{\Delta}|<3\\ \sqrt{\Delta}<3 \\ 0<\Delta <9 \\ 0<4m^2-16m<9 \\ \begin{cases} 4m^2-16m>0\\ 4m^2-16m<9 \end{cases}

Pierwszą z tych nierówności już rozwiązaliśmy na etapie I. Zajmiemy się teraz drugą:

4m^2-16m<9\\ 4m^2-16m-0<0\\ \Delta_m=16^2-4\cdot 4\cdot (-9)=400\\ m_1=\frac{16-20}{8}=-\frac{1}{2}\\ m_1=\frac{16+20}{8}=\frac{9}{2}\\ x\in(-\frac{1}{2};\frac{9}{2})

Uwzględniamy teraz część wspólną wszystkich przedziałów otrzymanych na I, II i III etapie rozwiązania:


ksiązki Odpowiedź

x\in \lbrace (-\infty;0)\cup (4+\infty)\rbrace \cap (-\frac{1}{6}; +\infty)\cap (-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\\ x\in (-\frac{1}{6};0)\cup (4;\frac{9}{2})

© CKE, 2016-11-11


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy