zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Etap I

W pierwszej kolejności zbadamy, kiedy funkcja \(f(x)\) ma dwa pierwiastki. Wiemy, że trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni. Mamy więc:

\(\Delta>0\)

\(b^2-4ac>0\)

\([2(m+1)]^2-4(6m+1)>0\)

\(4(m^2+2m+1)-24m-4>0\)

\(4m^2+8m+4-24m-4>0\)

\(4m^2-16m>0\)

\(m^2-4m>0\)

\(m(m-4)>0\)

Rozwiązanie nierówności odczytujemy z wykresu.

ilustracja

\(x\in (-\infty;0)\cup (4+\infty)\)

Etap II

Teraz zbadamy, kiedy funkcja \(f(x)\) ma dwa pierwiastki tego samego znaku. Jeżeli pierwiastki mają być tego samego znaku, to ich iloczyn jest zawsze dodatni. Skorzystamy więc ze wzorów Viette'a.

\(x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}>0\)

\(\frac{6m+1}{1}>0\)

\(6m+1>0\)

\(m>-\frac{1}{6}\)

\(x\in (-\frac{1}{6}; +\infty)\)

Etap III

Teraz zbadamy warunek \(|x_1-x_2|<3\).

\(|x_1-x_2|<3\)

\(|\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\)

\(|\frac{-b-\sqrt{\Delta}+b-\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\)

\(|\frac{-2\sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1}|<3\)

\(|-\sqrt{\Delta}|<3\)

\(\sqrt{\Delta}<3\)

\(0<\Delta <9\)

\(0<4m^2-16m<9\)

\(\begin{cases} 4m^2-16m>0\\4m^2-16m<9 \end{cases}\)

Pierwszą z tych nierówności już rozwiązaliśmy na etapie I. Zajmiemy się teraz drugą:

\(4m^2-16m<9\)

\(4m^2-16m-0<0\)

\(\Delta_m=16^2-4\cdot 4\cdot (-9)=400\)

\(m_1=\frac{16-20}{8}=-\frac{1}{2}\)

\(m_1=\frac{16+20}{8}=\frac{9}{2}\)

\(x\in(-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\)

Uwzględniamy teraz część wspólną wszystkich przedziałów otrzymanych na I, II i III etapie rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

\(x\in \lbrace (-\infty;0)\cup (4+\infty)\rbrace \cap (-\frac{1}{6}; +\infty)\cap (-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\)

\(x\in (-\frac{1}{6};0)\cup (4;\frac{9}{2})\)


© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3283

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.