Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Rozwiązanie zadania
Wyznaczamy dziedzinę równania kwadratowego. Współczynnik przy \(x^2\) musi być różny od zera:
\(m+1\neq 0\)
\(D: m\neq -1\)
Oznaczmy wszystkie współczynniki i obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, który musi być dodatni, aby trójmian miał dwa różne pierwiastki:
\(a=m+1\)
\(b=2(m-2)\)
\(c=-m+4\)
\(\Delta=b^2-4ac=(2(m-2))^2-4(m+1)(-m+4)>0\)
\(4(m^2-4m+4)+4(m^2-3m-4)>0/:4\)
\(2m^2-7m>0/:2\)
\(m^2-\frac{7}{2}m>0\)
\(m(m-\frac{7}{2})>0\)
\(m\in (-\infty;0)\cup(\frac{7}{2};\infty)\)
Pamiętamy jednocześnie, że \(m≠-1\). Zajmijmy się teraz warunkiem na pierwiastki równania. Nieco je przekształcimy:
\(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2)^2-(x_2^2)^2\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)=0\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-(x_1^2+x_2^2))=0\)
\(x_1-x_2=0 \vee x_1+x_2=0 \vee 1-(x_1^2+x_2^2)=0\)
Rozwiązujemy więc dalej trzy równania, sprawdzając, czy wynik należy do dziedziny \(D\).
I równanie:
Ten przypadek nas nie interesuje z uwagi na to, że założeniem zadania jest, aby trójmian miał różne pierwiastki.
II równanie rozwiążemy, korzystając ze wzorów Viete'a:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}\)
\(x_1+x_2=0\)
\(-\frac{b}{a}=0\)
\(\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\)
\(m-2=0\)
\(m=2\not\in D\)
III równanie rozwiążemy, korzystając również ze wzorów Viete'a
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3371
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 6.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 7.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).