Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 79 - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły


Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+...
a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę 0,(13) możemy zapisać w następującej postaci: 0,131313...

Aby zamienić ją na ułamek zwykły skorzystamy z sumy szeregu geometrycznego i przedstawić liczbę 0,1313... w postaci ciągu sum częściowych:

a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...

Nietrudno zauważyć, że:

0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+... tło tło tło tło tło tło tło

Kolorem niebieskim zaznaczono w szeregu wyraz a1, na zielonym - iloraz q. Właśnie wyraziliśmy liczbę 0,131313... jako szereg geometryczny. Możemy więc teraz zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego. Obliczamy więc sumę wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu. Wzór na sumę szeregu geometrycznego jest następujący:

S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1

Możemy więc napisać:

a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}

ksiązki Odpowiedź

0,(13)=\frac{13}{99}

© Media Nauka, 2009-12-31


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy