Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 187 -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi


Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

xy=1 \\ xy=1/:x (x\neq 0)\\ y=\frac{1}{x}

Gdyby x=0, wówczas otrzymujemy równanie sprzeczne: 0=2.
x-2-1-1/21/212
y-1/2-1-2211/2

Rozwiązanie graficzne układu równań
Punkty A,B,C,D te stanowią graficzne rozwiązanie układu równań.
A\appr (\frac{1}{2}, 1\frac{9}{10}), \ B\appr (1\frac{9}{10}, \frac{1}{2}), \ C\appr (-1\frac{9}{10},-\frac{1}{2}), \ D\appr (-\frac{1}{2}, -1\frac{9}{10}).

\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1/:x \ (x\neq 0) \end{cases}\\ \begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\\ x^2+(\frac{1}{x})^2=4 \\ x^2+\frac{1}{x^2}-4=0 \\ \frac{x^4}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^2}=0 \\ \frac{x^4-4x^2+1}{x^2}=0
x^4-4x^2+1=0 \\ t=x^2 \\ t^2-4t+1=0 \\ \Delta=16-4=12 \\ x_1=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\appr 0,268 \\ x_2=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\appr 3,732

x^2=2-\sqrt{3}\appr 0,268 \ lub \ x^2=2+\sqrt{3}\appr 3,732 \\ x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\appr 0,52 \ lub \\ x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\appr -0,52 \ lub \\ x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\appr 1,93 \ lub \\ x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\appr -1,93

\begin{cases}x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases} \\ lub \\ \begin{cases}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases} \\ \begin{cases}x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \end{cases} \\ lub \\ \begin{cases}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} \end{cases}

\begin{cases}x\appr 0,52\\ y\appr1,93 \end{cases}\ \vee \begin{cases}x\appr -0,52\\ y\appr -1,93 \end{cases} \\ lub \\ \begin{cases}x\appr 1,93 \\ y\appr 0,52 \end{cases}\ \vee \begin{cases}x\appr-1,93\\ y\appr -0,52 \end{cases}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres obu równań w jednym układzie współrzędnych:

Wykresem równania:
xy=1 \\ xy=1/:x (x\neq 0)\\ y=\frac{1}{x}

jest hiperbola. Założyliśmy, że x jest różne od zera. Gdyby x było równe zeru, wówczas otrzymujemy równanie sprzeczne: 0=2. Sporządzamy tabelkę zmienności:

x-2-1-1/21/212
y-1/2-1-2211/2

Jeżeli chodzi o drugie równanie (x2+y2=4), to jego wykresem jest okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu o długości 2, zgodnie z równaniem okręgu:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu, a r długością promienia.

Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie graficzne układu równań

Mamy cztery punkty wspólne obu wykresów: A, B, C, D. Punkty te stanowią graficzne rozwiązanie układu równań.
Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty hiperboli spełniają pierwsze równanie układu, punkty należące do okręgu spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym są cztery takie punkty. Odczytanie ich współrzędnych jest jednak trudne Można jedynie podać przybliżone rozwiązanie A\appr (\frac{1}{2}, 1\frac{9}{10}), \ B\appr (1\frac{9}{10}, \frac{1}{2}), \ C\appr (-1\frac{9}{10},-\frac{1}{2}), \ D\appr (-\frac{1}{2}, -1\frac{9}{10}). Znajdźmy teraz rozwiązanie za pomocą rachunków.

Od razu zastrzegamy przypadek, w którym x=0. Wówczas układ równań nie ma rozwiązania, gdyż drugie równanie jest sprzeczne (0=1). Zakładamy więc, że x jest różne od zera i stosujemy metodę podstawienia:

\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1/:x \ (x\neq 0) \end{cases}\\ \begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\\ x^2+(\frac{1}{x})^2=4 \\ x^2+\frac{1}{x^2}-4=0 \\ \frac{x^4}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^2}=0 \\ \frac{x^4-4x^2+1}{x^2}=0 tło tło

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru. Otrzymamy równanie dwukwadratowe, które rozwiążemy za pomocą zmiennej pomocniczej.

x^4-4x^2+1=0 \\ t=x^2 \\ t^2-4t+1=0 \\ a=1 \\ b=-4 \\ c=1 \\ \Delta=b^2-4ac=16-4=12 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\appr 0,268 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\appr 3,732

Wracamy do zmiennej x:

x^2=2-\sqrt{3}\appr 0,268 \ lub \ x^2=2+\sqrt{3}\appr 3,732 \\ x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\appr 0,52 \ lub \\ x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\appr -0,52 \ lub \\ x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\appr 1,93 \ lub \\ x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\appr -1,93

Mamy więc następujące 4 układy równań:

\begin{cases}x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases} \\ lub \\ \begin{cases}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases} \\ \begin{cases}x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \end{cases} \\ lub \\ \begin{cases}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} \end{cases}

Podamy jeszcze przybliżone wyniki:

\begin{cases}x\appr 0,52\\ y\appr1,93 \end{cases}\ \vee \begin{cases}x\appr -0,52\\ y\appr -1,93 \end{cases} \\ lub \\ \begin{cases}x\appr 1,93 \\ y\appr 0,52 \end{cases}\ \vee \begin{cases}x\appr-1,93\\ y\appr -0,52 \end{cases}

Zauważmy, że wyniki niewiele różnią się od przybliżonych współrzędnych punktów A,B,C,D, odczytanych na podstawie wykresu.

© Media Nauka, 2010-02-06


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy