Logo Serwisu Media Nauka


Równanie logarytmiczne

Teoria Równanie logarytmiczne to takie równanie, w którym niewiadoma jest w podstawie logarytmu lub pod znakiem logarytmu.

Przykład Przykład

Poniżej kilka przykładów równań logarytmicznych.

\log_{x}{5}=3\\{\log_{5}{x}=3}\\{\log_{\frac{x}{2}}{x}=2}

Teoria Rozwiązywanie równań logarytmicznych wymaga najpierw określenia dziedziny równania, czyli wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Rozwiązań szukamy w tym właśnie zbiorze. Można stosować co najmniej kilka metod rozwiązywania równań logarytmicznych. Tutaj zostaną przedstawione dwie najczęściej stosowane.

Rozwiązywanie równań logarytmicznych na podstawie definicji logarytmu

Metodę najlepiej przedstawić na przykładzie.

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie \log_{x}{9}=2.

Określmy dziedzinę równania. Z definicji logarytmu wiemy, że podstawa logarytmu musi być większa od zera i różna od jedności. Mamy więc warunek:
\begin{cases}x>0\\x\neq{1}\end{cases}
Teraz skorzystamy bezpośrednio z definicji logarytmu:

\log_{x}{9}=2\Leftrightarrow{x^2=9}
Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe.
x^2=9\\x^2-9=0\\(x-3)(x+3)=0\\x_1=-3,x_2=3
Sprawdzamy teraz, czy rozwiązania należą do dziedziny równania. W tym przypadku tylko drugi pierwiastek spełnia równanie.

Odpowiedź: x=3

Metoda podstawienia

Jeżeli w równaniu powtarza się ten sam logarytm, można go zastąpić nową zmienną i rozwiązać równanie względem tej zmiennej.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie \frac{1}{\log_{2}{x}}=\log_{2}{x}.

Równanie(logarytm) ma sens dla dodatnich wartości x - jest to nasza dziedzina równania. W powyższym równaniu zastosujemy podstawienie t=\log_{2}{x}.
\frac{1}{t}=t\\{\frac{1}{t}-t=0}\\{\frac{1-t^2}{t}=0}\\{1-t^2=0/\cdot(-1)}\\t^2-1=0\\(t-1)(t+1)=0
t_1=1,\quad{}t_2=-1

Za zmienną t podstawiamy \log_{2}{x}
Mamy więc:
\log_{2}{x_1}=1,\quad{}\log_{2}{x_2}=-1
Korzystamy teraz z definicji logarytmu i otrzymujemy:
2^1=x_1,\quad{}2^{-1}=x_2\\x_1=2,\quad{}x_2=\frac{1}{2}

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania, są więc rozwiązaniem równania \frac{1}{\log_{2}{x}}=\log_{2}{x}.


© Media Nauka, 2009-12-10, ART-424



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 37 - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=2

zadanie - ikonka Zadanie 38 - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=1

zadanie - ikonka Zadanie 39 - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{3x}=3

zadanie - ikonka Zadanie 40 - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0

zadanie - ikonka Zadanie 41 - rozwiąż równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2

zadanie - ikonka Zadanie 42 - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2

zadanie - ikonka Zadanie 43 - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0

zadanie - ikonka Zadanie 44 - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy