Logo Serwisu Media Nauka


Twierdzenia o trójkącie

Teoria Najlepiej znane twierdzenie o trójkącie to twierdzenie Pitagorasa, któremu poświęcamy osobny artykuł

Twierdzenie Twierdzenie

Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

Dowód tego twierdzenia jest prosty i oparty jest na własności działań na wektorach.

Teoria Dowód


dowód twierdzenia

Korzystamy z sumy wektorów i dodajemy stronami równania:

\ \ \ \ \ \ \ \vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}\\ \underline{+ \ \ \ \ \vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ \ \ \ \ 2\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}+\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}

Uporządkujemy wyrazy po prawej stronie równania:

2\vec{MN}=(\vec{MC}+\vec{MA})+(\vec{CN}+\vec{BN})+\vec{AB}

Wektory ujęte parami w nawiasach są wektorami przeciwnymi, więc:

2\vec{MN}=\vec{0}+\vec{0}+\vec{AB}\\ 2\vec{MN}=\vec{AB} \\ \vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AB}

Zgodnie z definicją mnożenia wektora przez skalar (liczbę), wektory te są równoległe, mają ten sam zwrot, a długość jednego jest o połowę mniejsza niż drugiego, co należało dowieść.

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie proste łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt z bokami przeciwległymi przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy punktem Gergonne'a

punkt Gergonne'a

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środek ciężkości (S2), środek okręgu opisanego (S1), środek okręgu przechodzącego przez środki boków (S3) i ortocentrum (S4) są współliniowe.

ilustracja twierdzenia

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środki boków (czerwone), spodki wysokości (niebieskie), środki odcinków, łączących ortocentrum z wierzchołkami(żółte) leżą na jednym okręgu, który nazywamy okręgiem dziewięciu punktów lub okręgiem Eulera.

okrąg Eulera

© Media Nauka, 2010-11-27, ART-1031



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 603 - własności trójkąta, obwód trapezu
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB|=6, |BC|=4, |AC|=5. Punkt M jest środkiem boku AC, punkt N - środkiem boku BC. Obliczyć obwód trapezu ABNM.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy