Zadania — matura 2021, matematyka, poziom rozszerzony
Zadania maturalne z roku 2021 z matematyki - poziom rozszerzony. Są to zadania z arkuszy egzaminacyjnych wraz z rozwiązaniami.
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 1 - maturalne.
Niech \(\log_{2}{18}=c\). Wykaż, że \(\log_{3}{4}=\frac{4}{(c-1)}\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 2 - maturalne.
Rozwiąż nierówność \(\frac{2x-1}{1-x}\leq \frac{2+2x}{5x}\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 3 - maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 4 - maturalne.
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 5 - maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 6 - maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 7 - maturalne.
Różnica \(\cos^2{165°} − \sin^2{165°}\) jest równa
A. \(-1\)
B. \(-\frac{3}{2}\)
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 8 - maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).
A. \(f(x)=\frac{\cos{x}+1}{|\cos{|x|}+1}\)
B. \(f(x)=\frac{\sin{x}+1}{|\sin{|x|}+1}\)
C. \(f(x)=\frac{\cos{x}-2}{|\cos{|x|}-2}\)
D. \(f(x)=\frac{\sin{x}-2}{|\sin{|x|}-2}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 9 - maturalne.
Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez
A. \(x-3\)
B. \(x^2+9\)
C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)
D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 10 - maturalne.
Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 11 - maturalne.
Oblicz granicę
.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 12 - maturalne.
Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty — odpowiednio — \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=|AE=\frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 13 - maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(ABC\), który ma większą miarę.
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 14 - maturalne.
Dane są parabola o równaniu y = x2 oraz punkty A = (0, 2) i B = (1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.
a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.
b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 15 - maturalne.
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.
Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.
Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 15.
Oznaczenia
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
![AI](matematyka/grafika/matura-z-matematyki-1.jpg)
![arkusze maturalne CKE z matematyki](matematyka/grafika/arkusze-CKE.jpg)
Źródło: Centralna Komisja Egzaminacyjna