Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 81 - zastosowanie szeregu geometrycznego


Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zaczynamy od sporządzenia rysunku

tło

Mamy więc obliczyć pole powierzchni wszystkich kwadratów k1, k2, k3, ...
Niech P oznacza szukane pole powierzchni, a pn pole powierzchni kwadratu kn.

P=p_1+p_2+p_3+... \\ p_1=a^2

Pole p1 było łatwo policzyć. Aby policzyć pole kolejnego kwadratu musimy znać jego długość boku. Spójrz na poniższy rysunek:

tło

Mamy tu do czynienia z trójkątem prostokątnym. Długość boku kwadratu k2 jest równa długości przeciwprostokątnej w zaznaczonym trójkącie. Przeciwprostokątne mają długość równą połowie długości boku kwadratu k2. Korzystamy więc z twierdzenia Pitagorasa:

(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=b^2\\ \frac{2\cdot a^2}{4}=b^2 \\ \frac{a^2}{4}=b^2 \\ b=\sqrt{\frac{a^2}{4}} \\ b=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\ b=\frac{a\sqrt{2}}{2}

Zauważmy, że otrzymaliśmy zależność między dwoma kolejnymi długościami boków kwadratów, gdyż długość boku następnego kwadratu obliczalibyśmy w ten sam sposób. Możemy zapisać, że długość boku kolejnego kwadratu an jest równa długości boku większego (poprzedniego) kwadratu an-1 pomnożona przez czynnik \frac{\sqrt{2}}{2}. To samo można zapisać za pomocą wzoru i obliczyć wszystkie kolejne długości boków kwadratów:

a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}a_{n-1} \\ a_1=a \\ a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}a_1=\frac{\sqrt{2}}{2}a \\ a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{2}{4}a=\frac{a}{2} \\ a_4=\frac{\sqrt{2}}{2}a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \\ ...

Ponieważ pole kwadratu to długość boku podniesiona do kwadratu, więc znaleźliśmy wzór na pole kolejnego kwadratu:

p_n=(a_n)^2 \\ p_1=a^2 \\ p_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{1}{2}a^2 \\ p_3=\frac{1}{4}a^2 \\ p_4=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{8}a^2 \\ ...

Pole wszystkich kwadratów jest równe:

P=p_1+p_2+p_3+...=a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{8}a^2+ ...= \\ = a^2+\frac{1}{2}a^2+a^2(\frac{1}{2})^2+a^2(\frac{1}{2})^3+ ...

Otrzymaliśmy szereg geometryczny. (Zostawiliśmy dla zachowania spójności oznaczeń z kursem oznaczenie wyrazu ciągu a1, które wcześniej oznaczało długość boku. Teraz zmieniamy sens tego oznaczenia). Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

to widać, że

a_1=a^2 \\ q=\frac{1}{2}

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/2), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Zatem suma pól wszystkich kwadratów to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

P=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}=2a^2

ksiązki Odpowiedź

Pole powierzchni wszystkich kwadratów jest równe 2a^2

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-471


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.