Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 89 - obliczanie granicy ciągu


Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=\\ =\lim_{n\to\infty}[\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-\frac{n^2(n+1)}{n+1}]= \\ = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+n^2+2n+3-n^2(n+1)}{n+1}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{n^3}+\cancel{n^2}+2n+3-\cancel{n^3}-\cancel{n^2})}{n+1}= \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby obliczyć daną granicę obliczamy najpierw różnicę ciągów, sprowadzając je do wspólnego mianownika:

\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=\\ =\lim_{n\to\infty}[\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-\frac{n^2(n+1)}{n+1}]= \\ = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+n^2+2n+3-n^2(n+1)}{n+1}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{n^3}+\cancel{n^2}+2n+3-\cancel{n^3}-\cancel{n^2})}{n+1}= \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}

Otrzymaliśmy ciąg w prostej postaci. Aby obliczyć jego granicę, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku. W ten sposób łatwo wyznaczymy granicę tego ciągu.

=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2

Wyjaśnimy jeszcze poszczególne kroki:

Otóż w przypadku ciągu stałego mamy \lim_{n\to\infty}(a)=a, zatem:
\lim_{n\to\infty}2=2
\lim_{n\to\infty}1=1
Korzystając z granicy \lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R mamy:
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}=0
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0

ksiązki Odpowiedź

\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=2

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-479


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.