Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 108 - ciąg arytmetyczny


Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209
S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0
a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20
x=20

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zauważamy, że po lewej stronie równania jest ciąg arytmetyczny o różnicy r=1. Wyraz ostatni tego ciągu nie może być w związku z tym mniejszy od każdego z wcześniejszych wyrazów tego ciągu. Możemy więc obliczyć sumę tego ciągu, korzystając ze wzoru:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Wypiszemy wszystkie dane:

a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209

Ostatni wyraz ciągu an, to x, natomiast liczba wszystkich wyrazów ciągu to x-1. Dlaczego? Gdyby pierwszym wyrazem ciągu była liczba 1, to mielibyśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych, a ich liczba byłaby taka jak ostatni wyraz ciągu. Ponieważ w naszym ciągu "brakuje" jednego wyrazu (jedynki), bo pierwszym wyrazem jest liczba 2, więc wyrazów jest o 1 mniej, czyli x-1.

Wstawiamy dane do wzoru:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20

Pierwszy pierwiastek nie spełnia warunków zadania, więc:

ksiązki Odpowiedź

x=20

© Media Nauka, 2010-01-09


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy