Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 177 - równanie okręgu


Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(x^2+4x+4)+(y^2+6y+9)+9-9-4=0 \\ (x+2)^2+(y+3)^2=4
S=(-2,-3)\\ r=2

Sporządzamy wykres okręgu o promieniu r i środku S:

Okrąg w układzie współrzędnych
Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z równaniem algebraicznym (wielomianowym) z dwoma niewiadomymi. Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb. Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

Pogrupujmy wyrazy:

(x^2+4x)+(y^2+6y)+9=0 \\ (x^2+2\cdot 2x)+(y^2+2\cdot 3y)+9=0

Aby zastosować wyżej wymieniony wzór skróconego mnożenia brakuje nam jeszcze liczb: w pierwszym nawiasie 22 i w drugim nawiasie 32=9. Dodajmy je więc do lewej strony równania, a żeby otrzymać równanie równoważne, odejmijmy te same liczby pod lewej strony równania:

(x^2+2\cdot 2x+2^2)+(y^2+2\cdot 3y+3^2)+9-4-9=0 \\ (x+2)^2+(y+3)^2=4 \\ [x-(-2)]^2+[y-(-3)]^2=2^2 tło tło tło tło

Otrzymaliśmy równanie w postaci:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie (p,q) - współrzędne środka okręgu o promieniu r. Porównując ten wzór do naszego równania odczytujemy:

p=-2\\ q=-3\\ S=(-2,-3)\\ r=2

Sporządzamy wykres:

Okrąg w układzie współrzędnych

Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.

© Media Nauka, 2010-02-01


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy