Zadania — matura 2022, matematyka, poziom rozszerzony

Zadanie nr 1 - maturalne.

Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{11}{12}\)

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 - maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 - maturalne.

Rozwiąż równanie \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 - maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa

A. \(\frac{3}{4}\)

B. \(\frac{9}{4}\)

C. 3

D. \(\frac{54}{8}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 - maturalne.

Jeżeli \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\) i \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to wartość wyrażenia \(\sin(\beta−\frac{1}{3}\pi)\) jest równa

A. \(\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

B. \(\frac{2\sqrt{6}+2}{6}\)

C. \(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

D. \(\frac{1-2\sqrt{6}}{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 - maturalne.

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

A. \(\frac{5}{14}\)

B. \(\frac{9}{14}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{6}{7}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 - maturalne.

Rozwiąż równanie: \(|x−3|=2x+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 - maturalne.

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 - maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1=675\) i \(a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\). Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu \(a_n\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 - maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 - maturalne.

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin{\alpha}=\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe 26,4. Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 - maturalne.

Punkt \(A=(−3,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y=x-1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 - maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.